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1、论求解二元函数偏导数在研究一元函数时，我们从研究数的变化率引入了导数的概念。对于多元函数我们同样要研究其变化率。为了研究多元函数的变化率我们又引入了新的研究方法：求偏导。下面我们来讨论二元函数在某点处求偏导的基本方法和简便方法。l一般二元显函数求解方法。例1：求函数z=x2+3xy+y2在点（1，2）处的偏导数。解：把y看成常量。得：=2x+3y把x看作常量得：=3x+2y将（1，2）代入上面的结果，就得：=2*1+3*2=8=3*1+2*2=7对于这种比较简单的函数我们只要把一个未知数看成常量，然后按照一元函数的求导法则和求导公
2、式就可以很轻松的求出。但有的函数用一般的方法却很难求出。例如2：f(x,y)=x2+(y-1)arcsin,求f’x(2,1)如果该题运用例一的方法，将比较复杂，可采用下面的简便方法。g(x)=f(x,1)=x2f’x(2,1)=g’(2)=42021-10-76该种方法即：将可以看成常量的变量的坐标代入原函数，再求导。其本质还是例1的方法但却大大减少了计算量。小结（1）：求函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是：1)先求出偏导数的函数式，然后将（a,b）代入计算即可。2)先求出g(x)
3、=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b)。3)若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做。l复合具体函数的导数求解基本法则：=+=+其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。例1：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）；法一：设u=x+y,v=xy,则z=uv函数的复合关系为：z是u,v的函数，u,v分别是x,y的函数.则：=+=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)=y(x+y)
4、xy[+ln(x+y)]f’x(x,y)=y(x+y)xy[+ln(x+y)]2021-10-76所以：f’x(1,1)=1+2ln2由于f(x,y)的表达式中的x,y依次轮换，即x换y成，同时将换y成x，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在f’x的表达式中将x,y调换即得到f’y。即：f’y（x,y）=y(x+y)xy[+ln(x+y)]所以f’y（1，0）=0在做题的时候请同学们注意轮换对称性这样可以节省一半的计算量。法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以
5、不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如：Lnz=xyln(x+y)上式两边求导得：=y[ln(x+y)+]从而：=zy[ln(x+y)+]所以：f’x(1,1)=1+2ln2有函数的对称轮换性得：f’y（1，0）=0例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。设z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求+在（1，1）处的值。dz=d(eusin(v))=eusin(v)du+eucos(v)dvdu=d(xy)=ydx+xdydv=d(x+y)=dx+dy2021-10-76代入后合并同类项得：d
6、z=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+eucos(v))dy将点（1，1）代入得：+=2e(sin2+cos2).注意：利用全微分解题思路清晰，不易出错。是一种比较好的方法。小结（2）：多元复合函数求导应注意以下几点：1)搞清函数的复合关系，求导前明确哪些变量是自变量，哪些是中间变量。2)求导时注意是哪个函数对哪个变量求导。3)对某个自变量求偏导时，应注意必须经过所有的中间变量归结到自变量。l复合抽象二元函数求导的方法例：设：f可微，且w=f(x,xy,xyz),求：,,.这里有三个中间变量，三个
7、自变量的函数，令：u=xy,v=xyz.则：=++即：=+y+yz同理：=x+xz=xya)注：题中和的区别。2021-10-76右边的是在函数f(x,xy,xyz)中把u,v看作常量时，对x求偏导。而左边的是函数w=f(x,xy,xyz)中把y,z看作常量，对x求偏导。二者意义区别很大。a)但归根结底它的本质仍是二元复合函数的求导。只要我们理解了二元复合函数的求导这类题将是最简单的。l二元隐函数的求偏导。例：方程ln=arctan,求解：方法1：用公式，设方程F（x,y）=0确定函数y=y(x)则：F（x,y）=ln-arcta
8、n则：=方法二：方程两边对x求导（注意：y=y(x)）得：=例二：方程组（注：x2为x的平方）法一：题中有3个自变量，明确了x=x(z),y=x(z),既z是自变量。我们可以利用公式求但比较繁。我们可以采用下面的方法：法二：对方程组两边对求z导得：
