“错”比“对”更耐人寻味

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1、“错”比“对”更耐人寻味“纠错”比“解题”更发人深省——基于《等腰三角形》教学行程中的思考与认识浙江省宁波外国语学校郑瑄315000梁启超先生在《成败》一文［1］中写道：天下岂有终身不经失败之人哉！做过不如错过，错过不如错得多。失败者实天惠之学校也，能受此天惠与否，则亦视其人也已矣。来自学生抑或教师的错误，都是一个非常值得珍视的资源［2］。因为，由着这个错误的源头追索、反思，不仅能走出误区，而且还会另有一番风景豁然眼前，别有洞天。这是最为难得的。笔者在《等腰三角形》的教学行程中，碰到一些颇有意味的教学案例，在咀

2、嚼、回味的同时，更有一些教学感悟和思想油然而生，如今撰文，以飨同仁。1一个定理的证明1.1来自教师的信息笔者曾经作为评委参与了一场高级职称的评定。在说课这个环节中，参评教师拿到的题目是：就等腰三角形的判定——如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，进行教学片断的说课。根据当时的纪录：100%的教师都指出，定理的证明是本节课的重点和难点，并且都引导学生添加辅助线（如图①）：作∠A的平分线（教科书上的方法）；约70%的教师指出，还有其它的辅助线添法，比如说作BC边上的高线；约4%的教师指出，辅助线的

3、添法可以作∠A的平分线，也可以作BC边上的高线，但是作BC边上的中线是不行的；其中有一个教师指出，可以不添辅助线证明此定理。1.2课堂教学中学生的动态及其教学的导向笔者在本节课教学的开课伊始，让全体同学动手画一个等腰三角形，于是，各种各样的画法呈现在全班同学的面前。当然，判定定理所昭示的方法也在其中。那么，画法的正确性必然是需要探究和论证的。怎么证明呢？生甲：可以作△ABC的角平分线AD，然后利用AAS判定AB、AC所在的两个三角形全等.师：OK！（此举得到了所有同学的认可，而且，受之启发跃跃欲试者纷然.）生乙

4、：还可以作BC边上的高线，也是利用AAS判定AB、AC所在的两个三角形全等.图①师：很好！还有其它方法吗？生丙（急切地）：作BC边上的中线.师:请同学们将丙同学提供的证明思路叙写出来.(很快的，有一股强烈的声音在涌动：不行，三角形的全等不能得证！因为现有的条件是两边和其中一边的对角相等，不能判定两个三角形全等.)otherstaffoftheCentre.Duringthewar,ZhuwastransferredbacktoJiangxi,andDirectorofthenewOfficeinJingdezh

5、en,JiangxiCommitteeSecretary.Startingin1939servedasrecorderoftheWestNorthOrganization,SecretaryoftheSpecialCommitteeAfterthevictoryofthelongMarch,hehasbeentheNorthwestOfficeoftheFederationofStateenterprisesMinister,ShenmufuguSARmissions,DirectorofNingxiaCoun

6、typartyCommitteeSecretaryandrecorderoftheCountypartyCommitteeSecretary,Ministersand5众生（嚷嚷）：老师，作中线不行啊！师：作中线果然不行吗？作中线一定不行吗？作中线绝对不行吗？？？（空气有些许沉寂，众生开始思索，继而有议论声起．）生丁（沉吟地）：我认为作中线也是可以的，只是略麻烦一些，需要证明两次全等．生戊（生丁的同座站起来补充）：经过点D作AB、AC边上的垂线，（如图②）垂足为点E、F，先利用AAS证明△DEB≌△DFC，再利

7、用HL证明△AED≌△AFD.图②生己：还可以倍长中线来证明.（如图③）倍长中线AD至G，连结CG，容易证得△ABD≌△GCD，接下来只要证明△ADC≌△GDC即可，过点D作AC、GC边上的垂线，垂足为点E、F，先利用角平分线的性质证明DE=DF，再分别利用HL证明△DEB≌△DFC、△AED≌△AFD.生庚：我认为，事实上戊同学和己同学的思路是一致的。（众生饶有兴味地看着、听着、思考着……）师：各位同学，事实上，不添辅助线也可以证明．（如图④）（众生期盼.）师：在△ABC与△ACB中，∠A=∠ABC=CB∠B

8、=∠C∴△ABC≌△ACB（AAS）∴AB=AC（全等三角形对应边相等）∴△ABC是等腰三角形（哇！Itisveryinteresting!）图④图③2“三线合一”引发的谬误和感悟2.1一个经典的错误已知：如图⑤，在△ABC中，D为BC中点，AD平分∠BAC求证：AD⊥BC证明：∵AD为BC边上的中线，AD平分∠BAC（已知）∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）　　　　　　　　　　　　2