创新班_高等代数课程讲稿

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1、第二章行列式的计算1化为三角形行列式例1计算行列式解从第n－1行开始，依次乘－1加到下一行，得＝＝例3计算解从第列开始，对的第列乘加到第列，则17对于不能直接化为三角形的行列式，可以考虑先化为上述类型的行列式，再按以上方法计算。例3计算，其中解在第列依次乘都加到最后一列，得到17方法2定义法例1计算的正项个数。解另一方面，设共有个正项，个负项。按定义展开后，共有个项，每一项都是1或者，所以。例2由0，证明奇偶排列各半。解按定义展开后，形为的项共有个，每一项都等于1，所以17，而+1代表排列是偶排列，代表排

2、列是奇排列。它们的代数和为零，所以奇偶排列个数相同。例3求解对于每一个奇排列就对应一个偶排列它们对应的的两个行列式之和+总共有个行列式按以上规律两两配对，每一对之和为零，所以原式为零。方法3拆项法例1证明1）172）证明1）2）利用1），在左式从第二列起，依次乘加到前一列，得到最后一列拆成两个行列式，令，利用1）即得2）。17例2计算行列式解原式=即同理得到，由此可得17例3解先计算所以这样，代入上式又有如此下去，有，最后回到原来的行列式：17从第二列开始，各列乘加到第一列得到（设）17当时，，结论也成立

3、。方法4加边法例1计算行列式解把原式提升为阶行列式，原式＝把上式再提升为阶行列式原式17例2计算行列式解作一个n＋1阶的范得蒙行列式＝上式中的系数是。另一方面，把按第一行展开是一个次数不超过n的多项式，的系数是，因此＝方法5递推公式法17例1计算＝解按最后一列展开得＝－于是因此同理可得由此得到例2解，所以，由此得到17例3计算＝即记则，－＝，－＝－＝，所以＝+同理得到＝+故有17例4＝解按最后一列展开得＝2－取复数，，则＝（＋）－于是－＝（－）＝（－）＝＝＝－所以＝α类似可得＝，于是（α－）＝()即2=2

4、，所以=17方法6拉普拉斯展开法拉普拉斯展开定理在n阶行列式中，取定k个行，在这k个行上的k级子式设为，对应的代数余子式为，则例1计算解选取的前三行，这三行上的非零3级子式只有一个是范德蒙行列式，其它3级子式都是零。的代数余子式是所以例2计算2n阶行列式（其余元全为零）解选取的前1行和第2n行，这两个行上的非零217级子式只有一个，的代数余子式是，所以于是例3证明17证明：4次方程有两个根相等的充分必要条件是证明设所给方程的4个跟为，则由根与系数的关系知考虑其首项为，所以指数组对应的项得到17所以有两个根

5、相等的充分必要条件是17