第3讲 圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理教师版

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1、第3讲与圆有关的性质与判定定理一、知识梳理圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切

2、线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线

3、，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。二、双击自测1.如图(1)，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，，则（）A.B.C.D.（答案：B）CB图DEOAF（2）（1）2、如图（2），AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC的长为（）A.2  B.3  C.D.43、如下图，⊙O与⊙O′交于A，B，⊙O的弦AC与⊙O′相切于点A，⊙O′的弦AD与⊙O相切于A点，则下列结论中正确的是A.∠1＞∠2   B.∠1=∠2  C.∠1＜∠2   D.无法确定2BCD1OAO′图34、如图（3），四边形ABCD是圆O的内接

4、四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为二、例题讲解图4考点一、圆周角的计算与证明圆周角例1、如图（4）所示，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．解析：易得ABFCDE图14例2、如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB＝FC；（2）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6，求AD的长．证明:（1）因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC．因为四边形AFBC内接于圆，所以，所以，所以，所

5、以FB＝FC．（2）因为AB是△ABC的外接圆的直径，所以．因为=，所以，．在RT△ACB中，因为BC＝6，，所以．又在RT△ACD中，，，所以考点二、四点共圆证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．例3.如图，已知是⊙的切线，为切点，是⊙的割线，与⊙交于两点，圆心在的内部，点是的中点．（1）证明四点共圆；（2）求的大小．答案：（1）连结，如图．因为与⊙相切于点，所以．因为是⊙的弦的中点，所以．于是．由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所

6、以四点共圆．（2）连接，如图．由（1）得四点共圆，所以．由（1）得．由圆心在的内部，可知．所以．练习、.如图，已知ABC中的两条角平分线和相交于，B=60，在上，且。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）证明：四点共圆；（2）证明：CE平分DEF。考点三、弦切角与圆周角定理的应用弦切角与圆周角是很重要的与圆相关的角.其主要功能在于协调与圆相关的各种角(如圆心角､圆周角等),是架设圆与三角形全等､三角形相似､与圆相关的各种直线(如弦､割线､切线)位置关系的桥梁,因而弦切角也是确定圆的重要几何定理的关键环节(如证明切割线定理).例4：(2010年高考课标全国卷)

7、如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.考点四：圆的切线的性质与判定解题准备:若知圆的切线,一种自然的想法就是连结过切点的半径,从而得到垂直关系.证明某条直线是圆的切线的常用方法有:若已知直线与圆有公共点,则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可;若已知直线与圆没有明确的公共点,则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例5：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．求证：AC是⊙O的切线．课后作业：1、如图5，AB=BC=CD，∠

8、E=40°