圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理

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1、圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理学习目标：会证明和应用以下定理：（1）圆周角定理；（2）圆内接四边形的性质定理与判定定理。【知识梳理】1．圆周角定理(1)圆周角定理　圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______．(2)圆心角定理　圆心角的度数等于_________________．推论1　同弧或等弧所对的圆周角_____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也______．推论2　半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是______．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)

2、性质定理1　圆的内接四边形的对角______．定理2　圆内接四边形的外角等于它的内角的______．(2)判定判定定理　如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______．推论　如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_____．【基本技能】1．下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的个数有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2．如图，在⊙O中，弦AB

3、与CD相交于点P，，则（A）（B）（C）（D）3．如图，在以BC为直径的半圆上任取一点P，过弧BP的中点A作于（D）连接BP交AD于点E，交AC于点F，则（A）1:1（B）1:2（C）2:1（D）以上结论都不对4．已知半径为5的⊙O中，弦，弦，则（A）（B）（C）（D）5．如图五，在⊙O中，弦BC平行于半径OA，AC交OB于点M，，则（A）（B）（C）（D）【典例精讲】考点一、圆周角的计算与证明圆周角是指顶点在圆周上且两边都与圆相交的角，它的度数等于它所对弧的度数的一半或等于同弧所对圆心角的度数的一半，根据这个

4、性质可以知道同一段弧可以对应无数个圆周角，无论这些角的顶点在圆周上的什么位半置，这些角都相等．这样就可以把所求圆周角转化成求同弧所对的其他圆周角或求同弧所对的圆心角的一．【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________．第11页共11页[审题视点]连结AD，BC，结合正弦定理求解．解析　连接AD，B（C）因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°．又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝＝AB＝3

5、，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝，所以cos∠DAP＝．又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝．答案　解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．【训练1】如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．解析　连接AO，O（B）因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π．答案　16π6．如图，已知△ABC的两条角平分线

6、AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF．(1)求证：B，D，H，E四点共圆；(2)求证：CE平分∠DEF．证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°．因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC第11页共11页＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°．于是∠EHD＝∠AHC＝120°．因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°．由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD

7、＝30°．又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF．7．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接C（D）(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·A（D）证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠AC（B）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠AB（C）又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF．又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF．(2)由(

8、1)知∠ADB＝∠AB（C）又∵∠BAD＝∠FAB，∴△ADB∽△ABF，∴＝，∴AB2＝AF·A（D）8．(2011·辽宁)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝E（D）(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠EC（D）因为A，B，C，