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《2011届高考数学数列求通项公式及求和》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列求通项公式与求和（Shmily.东）一、通项公式用于型已知条件先写出数列前几项观察数列变化规律猜测出通项后，用数学归纳法证明（“退一步”思想）即由已知推出相邻的递推式后将两式作差化简得出结论构造等差等比数列等）公式法累加法用于等差、等比数列相关公式递推方法猜想归纳法构造辅助数列叠乘法chengcheng法观察法数列求通项的一般方法与的关系利用用于型已知条件二、数列求和把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后
2、再求和倒序相加法裂项相消法错位相减法分组求和法主要是针对等差等比数列，直接应用求和公式公式法数列求和的一般方法（五种）若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子设数列的等比数列，数列是等差数列，求数列的前项和时，常常将的各项乘以的公比，并向后错一项与的同次项对应相减，即可转化为特殊数列求和补充：典型例题一．通项类型形如型累加法：（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：
3、由得：时，，，所以各式相加得即：.为了书写方便，也可用横式来写：时，，=.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例4.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则PS：形如型（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f
4、(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.例1.数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.分析1：构造转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故解法2：时，，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列.评注：结果要还原成n的表达式.例2.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.解：方法一：因为以下同
5、例1，略答案类型.形如型累乘法（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由得时，，=f(n)f(n-1).例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.例2.已知,求数列{an}的通项公式.解：因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累
6、乘法得=所以-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.PS.形如型（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例1.已知数列,求此数列的通项公式.注：同上例类似，略.类型形如,其中)型构造辅助数列（1）若c=1时，数列{}为等差数列;（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若时，数列{}为线
7、性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例1．已知数列中，求通项.分析：两边直接加上,构造新的等比数列。解：由得,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即.方法二：由时，两式相减得,
8、数列是以=为首项，以c为公比的等比数列.=(.方法三：迭代法由递推式直接迭代得===.PS形如型.(1)若(其中k,b是常数，且)方法：相减法例1.在数列中，求通项.解：，①时，，两式相减得.令,则利用类型5的方法知即②再由累加法可得.亦可联立①②解出.例2.在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首
