求通项公式和数列求和的常用方法

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1、求通项公式和数列求和的常用方法求递推数列通项公式的常用方法一公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1(n≥2)，等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列{an}的前n项和为Sn，并且an+Sn=1(n∈N*)，求{an}的通项公式？【解析】：Sn=1-an，∴an+1=Sn+1-Sn=an-an+1，∴an+1=n11an，又a1=，3422⎛1⎫∴an=⎪.⎝2⎭反思：利用相关数列{an}与{Sn}的关系：a1=S1,an=Sn-Sn-1(n≥2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练1.已知数列{an}的前n项和Sn，满足关

2、系lg二(Sn+1)=n(n=1,2⋅⋅⋅).试证数列{an}是等比数列.归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例二已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n≥2)，求数列{an}的通项公式.【解析】：a1=1，an=2an-1+1(n≥2)，∴a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7⋅⋅⋅⋅猜测an=2n-1(n∈N*)，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.跟踪训练2.设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有自然

3、数n，an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项，求数列{an}的通项公式.34三累加法：利用an=a⋅a-a1+(a2-a1)+⋅⋅(nn-1)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an+1=an+f(n)的递推数列通项公式的基本方法（f(n)可求前n项和）.⎛1⎫例三已知无穷数列{an}的的通项公式是an=⎪，若数列{bn}满足b1=1，(n≥1)，求数列{bn}的通项⎝2⎭公式.nn1⎛1⎫【解析】：b1=1,bn+1-bn=⎪(n≥1),∴bn=b1+(b2-b1)+⋅⋅⋅(bn-bn-1)=1++⋅⋅+2⎝2⎭⎛1⎫⎪⎝2⎭n-1⎛1⎫=2-34⎪⎝2⎭n-1.反思:用累加法求通

4、项公式的关键是将递推公式变形为an+1=an+f(n).1⎛1⎫跟踪训练3.已知a1=,an+1=an+⎪(n∈N*),求数列{an}通项公式.2⎝2⎭四n累乘法:利用恒等式an=a1aa2a3⋅⋅⋅n(an≠0,n≥2)求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:a1a2an-1an+1=g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积).例四已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),求数列{an}通项公式.【解析】：an=n(an+1-an),∴an+1n+1aa34a,又有an=a123⋅⋅⋅n(an≠0,n≥2)==anna1a2an-11××⋅⋅⋅23

5、12n=n,当n=1时a1=1，满足an=n，∴an=n.n-1反思:用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an+1=g(n)an.跟踪训练4.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+(n-1)an-1(n≥2).则{an}的通项公式是.五构造新数列:an+1=an+f(n)-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。1，求an。n2+n类型1解法：把原递推公式转化为an+1例1:已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2解：由条件知：an+1-an34=1111==-n2+nn(n+1)nn+1分别令n=1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,(n-1)，代入上式

6、得(n-1)个等式累加之，即(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(an-an-1)11111111=(1-)+(-)+(-)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(-)所以an-a1=1-22334n-1nn11131a1=，∴an=+1-=-22n2n类型2an+1=f(n)anan+1=f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an3nan，求an。n+1解法：把原递推公式转化为例2:已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+1n=ann+1解：由条件知，分别令n=1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,(n-1)，代入上式得(n34-1)个等式累乘之，即aaa2a3a4123n-11∙∙∙⋅⋅

7、⋅⋅⋅⋅∙n=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⇒n=na1a2a3an-1234a1n22，∴an=33n3n-1an(n≥1)，求an。例3:已知a1=3，an+1=3n+2又a1=解：an=3(n-1)-13(n-2)-13⨯2-13-1∙∙⋅⋅⋅∙∙a13(n-1)+23(n-2)+23⨯2+23+23n-43n-7⋅⋅3n-13n-4526⋅⋅3=853n-1。=变式（:2004，全国I,）已知数列{an}，满足