课题数形结合的思想方法的应用

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1、课题：数形结合的思想方法的应用王保清（湖北省襄阳四中）一、教学设计1．教学内容解析本节内容是数形结合的思想方法的应用，是一节高三总复习中的数学思想方法专题复习课．数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考问题，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象问题直观化，从而达到优化解题途径的目的．数形结合的思想方法是高中数学中的一种非常重要的思想方法．高考《考试说明》在命题指导思想和命题原则中明确指出：“注重通性通法，强调考查数学思想方法”，并明确了“数学思想方法

2、属方法范畴，但更多地带有思想、观点的属性，属于较高层次的提炼与概括”，而且把“数形结合的思想”作为所要重点考查的基本思想之一，纳入重点考查的范畴．可见本节课应进行思想立意，关键是解决“如何想到的”的问题，达到“自觉运用”的目标．根据以上分析，本节课的教学重点确定为：教学重点:如何由数联想到形，如何用数来解决形的问题．2．学生学情诊断经过高一高二的学习及高三第一轮复习，学生对高中数学知识有了较系统的认识，但是，他们在解答数学问题时，往往带有盲目性，与其说识模困难、用不上所学知识，不如说是对套路不熟悉、用不上

3、统帅知识与方法的数学思想．数形结合是一种常用的数学方法，更是一种常用的数学思想．作为数学方法，具有实践、操作的倾向，去实现数学语言的转化；作为一种数学思想，有思想、观点的属性，反映一种意识和观念，引领着化归的方向，表现为一种数学智慧和策略．通过高中数学内容的学习，学生对数形结合方法有了一定认识，但主要停留在“口号式”、“标签式”及自发运用阶段，意识朦胧，“对路”就用上了，有些勉强，不够成熟，运用不够自然，还需要专题研究进一步升华为思想．根据以上分析，本节课的教学难点确定为：教学难点:怎样使学生对数形结合的

4、认识从方法层面上升到思想层面．3．教学标准设置（1）通过数量关系与几何背景的沟通，由数构造出形，由形观察出数，认识识别标志，寻求结合点，体会蕴含在其中的数形结合思想；（2）通过典例分析，理性认识数形结合中的等价转换问题，防误求优，发展构图、用图能力，领悟蕴涵在其中的数形结合思想．（3）通过成功体验，培养学生学习数学的兴趣，增强克服困难的信心，享受获得成功的喜悦．4．教学策略分析鉴于是专题复习课，学生基本知识不存在问题，所以本节课采用老师引导，学生独立思考和合作讨论相结合的方式，既发挥了老师的主导作用，又体

5、现了学生的主体地位．由于专题复习课课堂容量比较大，学生参与度比较高，所以需要借助多媒体课件、投影仪等．教学流程：引入课题应用举例反思升华巩固提高二、课堂实录（师）：同学们，我们这节课来学习高中数学中的一种非常重要的思想方法的应用，希望通过这节课的学习能够对大家有所帮助.请同学们先看下面两个例子．一、引例（1）若直线与圆相交，则的取值范围是．（2）已知实数分别是方程的根，则的大小关系是．(师)：请同学们思考一下！同桌之间可以相互讨论！（生）：【思考】（师）：先看引例（1），有没有哪一组推举一人举手回答？图1

6、（生）：引例（1）可以用或来做，答案为．（师）：很好！引例（1）是一个形的问题，但还需要进行计算，有两种计算方案．即以图形作条件，回归数的运算，我们可称之为“以数解形”．（师）：那引例（2）呢？（生）：引例（2）可以通过作图观察，答案为．（师）：【老师在黑板上作出引例（2）的图形（图1）】（师）：很好！引例（2）是一个方程的根的问题，我们直接解方程无从下手，就把它转化为两个函数图象交点的横坐标问题，通过作图加以解决．也就是说，当数的问题直接解决比较困难甚至不能求解时，可以考虑用形来帮助解决，我们可称之为“

7、以形助数”．（师）：【思考1：】“以数解形”、“以形助数”体现了什么样的思想方法？（生）：数形结合的思想方法------数形相互转化、相互结合、相辅相成．（师）：对！这就是我们本节课所要学习的内容------数形结合的思想方法的应用．（【板书：数形结合的思想方法的应用】）数形结合的思想方法是高中数学中的一种非常重要的思想方法，在高中数学中有着广泛的应用．下面我们再通过几个例子来体会一下．【评析】通过两个学生熟悉的、简单的例子导入课题，同时说明了数形结合的的思想方法的应用包含了两个方面：以数解形、以形助数．

8、二、应用举例(师)：我们先来看以形助数的例子．（一）以形助数例1．已知，求证：．OxyA(1,1)P(x,y)图2分析：如图2建立直角坐标系，设，则，．在中，显然有，即证．变式．已知，则的最小值是．A(1,2)A’(1,-2)B(-3,4)P(x,0)Oxy图3分析：可变形为，如图3，设，点关于轴的对称点为，则，答案为．例2．方程表示什么曲线？分析：表示动点到原点的距离，表示动点到定直线的距离，又原点不在定直线上，依抛物线定义