导数在研究函数中的应用——对称性

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1、《导数在研究函数中的应用》------对称性福州高级中学周郑鹃一、学情分析我校高二学生在经历了一年多的高中学习，抽象思维能力有所提高，但对于形象的事物则更容易理解并掌握。在前一个月，不断地通过数形结合的方式，引导学生认识、掌握、运用导数。目前，学生对于导数的基础知识较好的掌握。然而，学习若只停留在“被动接受”的阶段，而没有“主动探寻”的经历，那么，学习便无乐趣，学生便无能力。如何激发学生的自主探究的激情，明确探究的内容，制定探究的方案，越过探究的难点，享受成功的喜乐。这对于教师来说，是一个大挑战。学生较好地掌握了导数在函数单调性中的应用，然而函数性质不止于单调性，它

2、还包括对称性、周期性等。因此学生自然而然会产生一种横向挖掘导数新知的欲望，那就是探究导数在对称性方面的应用。（也可能是纵向挖掘：探究二阶导数的几何含义）这为本节课的学习提供了情感基础。二、教学思路【教材地位和作用】本节课是属于导数知识的拓展课。对称性是一个重要的函数性质。在高考中也常常出现有关对称性的题目。因此，本节课既着眼于提高学生的探究能力，也在一定程度上拓宽了学生的数学知识、素养以及几何直观能力。【教学重、难点】重难点：（1）如何引出猜想（即发现原函数与导函数在对称性方面的联系）（2）规律易得，然而用图形来分析结论，用代数的方式来严谨证明结论却并不容易。三、教

3、学目标【知识与技能目标】认识原函数与导函数在对称性方面的联系，并能熟练判断三次函数的对称中心。【过程与方法目标】学生在探究的过程中，体会“从特殊到一般，从具体到抽象，从简单到复杂”这一方法在降低探究难度中的积极作用，以及“讨论交流，成果共享”在探究的效率上的重要意义。【情感态度与价值观目标】培养学生在面对“困难”时，不抛弃不放弃的坚强意志品质，并让学生体会成功的喜乐、对自我的肯定以及勇于挑战的创新精神。四、教法与学法：【教学方法】启发引导,小组合作,探索分析【学法指导】大胆猜想---图形分析—代数证明五、教学过程教学主线教学内容学生活动设计意图一、问题背景0(0,2

4、)0+0-04通过本题可以让学生回顾导数的基础知识。同时，画图也为之后讨论函数图象的对称性提供素材。二、提出问题以前一阶段刚学的三次函数为研究对象，并通过图形来初步判断对称性，对于学生而言，是一个较好的研究切入点，符合学生的最近发展区域。三、探究导控虽然，学生从图形可以很直观的得出结论。但严谨的代数证明却考验着学生对称性知识的掌握以及灵活变通转换问题的能力。因此，此时的分组讨论、互助合作就显得很有必要。同时，对具体三次函数对称性的证明，也为之后对一般可导函数对称性规律的证明提供铺垫。单单从一个具体函数很难得到可靠地猜想，因此，通过对多个函数图象的分析，可以得到更有把

5、握的猜想。同时，在这一过程中，进一步加强学生读图的能力，以及直观感知的能力。在探究2的过程中，猜想易得，分析不易，证明抽象。因此，数形结合能力好的同学与抽象思维能力强的同学可以互助合作，分享交流，从而在知识、能力上共同进步，在情感态度上被认可。问：你能否从图形的角度来解释猜想？同时，用代数的方式来证明猜想？（观看材料）图形分析（代数证明）四、评价延伸问题2：(开放式的题目)考古过程发现一个古花瓶，但瓶身被僵化的泥土紧紧附着，无法得知它的形状，去泥土的过程很可能使花瓶破裂。请你设计一个研究方案，可以在不去泥的情况下，探知花瓶内部的大致形状？并判断它的形状是否有可能是中

6、心对称的几何体？让学生体会探究的价值。增强学生实际应用的意识。五、归纳拓展1、三次函数的图形都是中心对称的，那么所有的三次函数是否都可以由某一类特殊的三次函数经过平移伸缩变化得到？2、函数性质还包括周期性。那么原函数的周期与导函数的周期会有怎样的联系呢？请同学们回去继续探索引导学生课后进一步探究。【板书设计】导数在研究函数中的应用——对称性猜想1：猜想2：猜想3（1）：猜想3（2）证明：证明：证明：证明：