复合函数单调区间的一种简捷求法式-----数轴法

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1、复合函数单调区间的一种简捷求法式-----数轴法靖远四中罗文君复合函数是高中数学的一类重要函数。讨论复合函数的单调性、求出其单调区间是复合函数解题中的一类重要问题，而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐。本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。关于复合函数的单调区间的求解问题，我们应分两种情况去考虑，划分的原则是看复合函数的外函数的单调性是否唯一，下面我们以具体的实例首先说明外函数的单调性不唯一的复合函数单调区间的求解方法。例：求函数的单调区间。解：∵原函数是由及复合而成的复合函数，∵外函数在上是增函数，在上是减

2、函数，它在定义域R上的单调性不唯一，又∵在上是增函数，在[0，+∞）上是减函数当时，，即＜1，x＞1或x＜-1；当时，即≥1，-1≤x≤1现在就可以利用数轴求复合函数的单调区间了。具体的操作方法是：1、把内、外函数的单调区间分别在数轴的上方和下方表示出来，并在递减区间内划↓，在递增区间内划上↑。2、过数轴上区间端点值作x轴的垂线（虚线），找出内、外函数的共有区间，按“同增异减”的原则确定出复合函数的单调性:如图:由上图可知函数在区间上是增函数在区间、上是增函数,在区间[-1,0]、[1,+∞)上是减函数。当复合函数的外函数的单调性唯

3、一时，这时外函数的单调区间就是它的定义域，因此我们就没有必要求外函数的单调区间，只要求出函数的定义域和内函数的单调区间就可以，然后利用数轴就可以得出复合函数的单调区间。例如求函数的单调区间：解：函数可以看成由内函数与外函数复合而成，因为外函数在上单调递减，所以外函数的单调性唯一，这时外函数在函数定义域0＜x＜4上单调递减，内函数在区间上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递减，用例1的方法作出如下的图：根据图就可以得出函数的单调递减区间是（0，2]，单调递增区间是[2，4），这类复合函数的单调区间的确定是高中数学中最常见的题型之一，也

4、是必考的一个知识点，同时也是大多数同学的一个难点，用数轴求复合函数的单调区间不仅能突出内外函数的公共区间的单调性这一特点，而且可操作性强，便于掌握，各位读者不妨一试。