复合函数单调区间的求法-(3835)

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1、--复合函数单调区间的求法浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平一、复合函数单调性的判断：设yf(x)，ug(x)，x[a,b]，u[m,n]都是单调函数，则yfgx在[a,b]上也是单调函数。①若yf(x)是[m,n]上的增函数，则yfgx与定义在[a,b]上的函数ug(x)的单调性相同。②若yf(x)是[m,n]上的减函数，则yfgx与定义在[a,b]上的函数ug(x)的单调性相同。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时,则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时,则复合函数为减函数。简而言之“同为增

2、，异为减”。二、复合函数单调区间的求解步骤:①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本函数；③分别判定常见的基本函数在定义域范围内的单调性；④由复合函数的增减性判断方法，写出复合函数的单调区间.例1．求函数y1的单调区间2x解：由x20，得x0或x0令tx2（t0），则y1y1在(0,)上为减函数tt而2由“同增异减”可得，1tx在(,0)上为减函数，在(0,)上是增函数；2函数yx在(,0)上为增函数，在(0,)上为减函数。-----例2求函数yx24x3的单调区间.解：由x24x30x1或x3函数的定义

3、域是(，1][3，).-----11令ux24x3,则yu2yu2在0,是增函数，而u在,1上是减函数，在3,上是增函数；由“同增异减”得，函数的增区间是[3，)，函数的减区间是,1.例3已知f(x)82xx2，试确定yf(2x2)的单调区间.解：令t2x2，则yft82tt2t2在,1上为19，得ft增函数，在1,上为减函数；由t2x21，解得x1或x1，由t2x21，解得1x1；而函数t在,1和1,0上是增函数，在0,1和1,上是减函数；由复合函数求单调区间的方法得，g(x)的单调递增区间为,1和0,1，g(x)的单

4、调递减区间为1,和1,0.例4若函数f(x)在(,)上是减函数，试判断yf2xx2的单调区间。解：原函数的定义域为R令u2xx2，则yfu，函数f(x)在(,)上是减函数，而u2xx2在,1上是增函数，在1,上为减函数，y在,1上为减函数，在1,上为增函数，即原函数的单调减区间为,1，单调增区间为1,.评注：复合函数求单调区间是一个难点，我们应明确单调区间必须是定义域的子集，当求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域，再根据基本函数的单调性与“同为增，异为减”的原则判断复合函数的单调区间，在函数学习中应树立“定义域优先

5、”的原则。另外，对初学者来说，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步。---