2013-第4版姜启源数学模型复习总结

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1、第四版姜启源数学模型复习总结第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。建模的一般方法及其在建模中的应用。建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。建模的全过程（框图）4个环节的含义。模型的特点（技艺性）。模型分类（表现特征），建模中的能力培养。数学建模实例的建模思想及其步骤§1数学模型的概念：模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。抽象模

2、型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。§2建模的重要意义（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。§3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位置用角度，放平问题转化为连续

3、函数的零点问题（连续函数的零点定理）矩形椅子问题：（1）用表示椅子对角线与轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是的连续函数。设相邻的两点到地面的的距离之和为，两点到地面的距离之和为，令，则是的连续函数。（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设时，，。（3）将椅子旋转，则旋转到原来的位置，旋转到的位置，即与的位置互换，因此有，因此，即连续函数在两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点使,即。因为至少有一个为零，因此，即对应的位置就是椅子能放稳的位置。实例2-商人过河问

4、题：属于多步决策问题，即动态规划问题。多步决策问题（确定多步的决策改变系统的状态）的三要素：状态，决策，状态转移方程（状态在决策下的转移律）。实例3-施救问题。药物排除过程-指数衰减方程：，分离变量，积分得到，解。吸收-排除过程的方程：。求解过程：凑微分（完全积分法）积分得到，因此习题：对于给定的确定的最大值与之间的关系。关键是求最大值点，满足，此时。半衰期确定衰减系数：实例3-人口模型：指数模型，其解，假设条件：人口相对增长率为常数。（指数增长，指数衰减）阻滞增长模型（logistic模型），求解步骤：分离变量，裂项，积

5、分，其解为，曲线为曲线。§6建模方法与步骤基本方法：机理分析与测试分析（统计分析）机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律测试分析（统计分析）：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。在建模中的应用：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。能将道理讲道理，讲不清道理讲数据。建模步骤：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索相关信息，把握对象特征，形成一个较为“清晰”的问题。模型假设：分析影响

6、因素，分析设置变量，假设变量之间的关系，要在合理（保真）和简化（可行）之间折中，是数学建模艺术之所在。模型构成：用数学语言，符号描述问题（特有规律的数学表示）。尽量采用简单的数学工具。模型求解：数学方法，软件和计算机求解析解，近似解或数值解。模型分析：对结果进行误差分析，统计分析，敏感性分析，对算法和数据进行稳定性分析，对模型进行稳健性分析。模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性。模型应用：把数学模型的结果翻译回原问题，解决实际问题。建模的全过程（四个环节，两个世界，双向翻译）掌握框图：四个环节：表述（F

7、ormulation)-根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题 求解（Solution)-选择适当的数学方法求得数学模型的解答.解释（Interpretation)-将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.验证（Verification)-用现实对象的信息检验得到的解答. §7数学模型的特点与分类特点：逼真性与可行性（建模的两个重要方面，要折中兼顾，反映建模艺术）；渐进性-渐进不断改进的迭代过程；强健性（稳健性）-模型对假设条件的敏感性；可转移性-模型结构可借鉴可移植（数学建模ABC）；模型的技艺性（与其说是一门技

8、术，不如说是一门艺术）；模型的局限性（认识，手段）。分类：应用领域，方法，表现形态，建模目的，了解程度。所用的数学方法分：初等模型，连续优化模型，离散优化模型，微分方程模型，代数方程与差分方程模型，稳定性（平衡点）模型，离散模型（层次分析模型，图模型），概率模型，统计回归模型，博弈模型，马氏链模型，动态