《高数讲义》第六-第九章

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1、第六章多元函数微分法鉴于有些同学没有学过多元微积分，从现在起再往后，我们的讲法就稍有不同，回顾基本概念及主要结论稍微会详细一点，足可保证那些没学过多元微积分的同学们也能听懂。一．求二元函数的定义域、表达式先回顾一下二元函数的定义：设D是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数（或点P的函数），记为或.点集D称为该函数的定义域；x,y称为自变量，z也称为因变量；数集称为该函数值域；在点处的函数值记为或.二元函数的两要素与一元函数完全相同，即定义域和对应

2、法则。其定义域的求法也与一元函数类似。注意：二元函数的几何意义是表一张曲面。研究多元函数有两个基本方法：一是讲解各个知识点时主要以二元函数为主，其结论往往可以直接推广至三元以上的函数；二是要把二元函数中的各个知识点与一元函数中类似知识点进行类比，指出其类似之处，更要指出其有本质区别的地方。下面举例说明例1.设求其定义域，并作图。解：由知且故练习：求的定义域.解：（作图）例2。设，当时，.求及的表达式.解：（1）将条件时，代入原表达式，得：-----（1）令则（2）所以，122例3。.设求.解：令，代入原表达式，

3、得：所以，故：二．二元函数的极限、连续一元函数的极限存在的充分必要是：当自变量分别自的左、右趋近于时,左、右极限都存在且相等.但对二元函数来说，对极限的研究就复杂多了，因为点的方式是多种多样的，不能简单地只从左、右两个方向来考察.一般不要求会根据定义证明极限成立，但往往会要求证明某一极限不存在。例4.证明不存在解：（1）当动点沿轴趋向于原点时，即；（2）但若当动点沿抛物线趋向于原点时，即，所以，不存在.注意：其实此题往往这样做更简单：当动点沿直线趋向于原点时，即，与有关，所以，不存在.但下题就不适合上述方法了。

4、122例5.设考察解：（1）当动点沿轴趋向于原点时，即；（2）同理，当动点沿轴趋向于原点时，即；（3）但若当动点沿抛物线趋向于原点时，即，所以，不存在.多元函数的极限运算法则与一元函数完全类似，如四则运算法则、复合极限法则、无穷小的概念及其性质、等价无穷小的替换、夹逼准则等，但不再有所谓的洛必达法则。不再一一指出。下面举几例说明。例6.求（1）（2）；（3）（4）关于二元函数的连续性，请记住一个基本结论：一切二元初等函数在其定义区域内均连续.例7．求解：因为是初等函数定义域内的点，故在点处连续，所以，原式122

5、例8．讨论函数设在其定义域内的连续性。解：函数的定义域是全平面，并且当时，是初等函数，从而是连续的；下面考察函数在处的连续性。因为不存在（例4已证），所以在处不连续。三．二元函数的偏导数偏导数是多元微分学中最重要的概念之一，首先回顾一下二元函数偏导数的定义：设函数在点的邻域内有定义，记，如果存在，则称之为函数在点处关于自变量的偏导数（此时也称函数在点处关于自变量可偏导），记为：或，。完全类似，如果存在，则称之为函数在点处关于自变量的偏导数（此时也称函数在点处关于自变量可偏导），记为：或，1注意：（1）在偏导数的

6、定义式中，为极限变量，其余均为常数.（2）如果令且在点处可导，则122，说明偏导数的本质是一元函数的导数.完全类似，如果令且在点处可导，则，说明偏导数的本质也是一元函数的导数.（3）偏导（函）数的概念：如果函数在平面区域D内每一点处均可偏导，则对于任意一点，称为函数在平面区域D内关于自变量的偏导（函）数，记为：，或，.（4）偏导函数与偏导数之间的联系：即函数在点处关于自变量的偏导数的值等于关于自变量的偏导函数在处的函数值.因此，今后很少针对具体利用函数在点处的偏导数的定义去求或，而是先求函数关于自变量的偏导函数

7、表达式，然后，将代入偏导函数即可.求一个二元函数的偏导数并不需要特殊的方法，只须利用一元函数的求导方法.（5）二元函数偏导数的几何意义;（6）推广：三元以上函数的偏导数的定义.例9．求在点处的偏导数.解法一：故122由于所以，解法二：令，则，所以，令，则，所以，解法三：因为，，所以，，虽然此三种方法在求具体偏导数时都适用，但在具体问题中究竟该用那种，还是要具体情况具体对待。一般说来，对于分段函数在分段点处的可偏导性，一定要根据定义来讨论；一个解析式子表示的函数求偏导数，往往用解法三。解法三则很少用，但有些题中，

8、也会用到。如已知求，求，则宜用解法二。例10．设，求解：例11．，求解：例12．设=，求；解：由定义，；由轮换对称性，此例说明，函数在某点处可偏导未必可以推出它在此点处也连续，这与一元函数可导必连续的关系有本质的区别。122例13．设=，（1）证明在处连续；（2）证明在处不可偏导.证明：（一）因为，所以，由夹逼准则知，故（二）.依定义：不存在；同理，不存在.注意：此例说明，函数在某点处