两类平几题的辅助圆解(证)法

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1、两类平几题的辅助圆解（证）法毛永吉发表于“数学教学通迅”1991年笫3期添加辅助线是解决初等几何问题的重要手段之一，同时也往往是解题的关键之所在。以点、线段和直线等作为辅助线是大家最熟悉和最常用的，至于以圆或圆弧作为辅助线则少见。本文专门谈以圆作为辅助线（称为辅助圆）的两类平几问题。一、共端点的等线段问题，常作以公共端点为圆心，等长线段为半径的确圆，则易沟通题设和结论的联系，使问题迅速获解。例1已知四边形ABCD中，AB//CD，AB=AC=AD=5，BC=，求BD.解：以A为圆心、AB为半径画圆，则B、C、D三点在⊙A上.延长BA交⊙A于E，连结DE.因BE是⊙A的直径T∠EDB

2、=900且BE=2AB=10.例2（上海1984年初中数学竞赛题）如图，AB=AC=AD，∠DAC是∠CAB的K倍，则∠DBC是∠BDC的（）倍.（A）K倍；（B）2K倍；（C）3K倍；（D）都不对.解：以A为圆心，AB为半径画圆，则B、C、D三点在⊙A上.由圆周角定理可得.所以答案是（A）.例3如图，AB=AC=AD=BC，AH⊥CD，CP⊥BC.证明：以A为圆心AB为半径作⊙A，则B、C、D都在⊙A上，且∴∠BDC=∠ACP.∴△BDC∽△ACP.∴BC：AP=BD：AC.∴BC2=AP·BD.二、共顶点的等角问题，常作以公共顶点为一个顶点的三角形的外接圆，从而使等角与辅助圆中

3、有关角的性质建立起联系，从而使问题获得简捷的解决。例4△ABC中，∠A的外角平分线交BC的延长线于D.证明：作△ACD的外接圆交BA的延长线于F.连结FD，则DC=DF.∵∠ACB=∠DFB，∠B=∠B，∴△ABC∽△DBF例5证明任何三角形三个内角的平分线的连乘积必小于三边的连乘积.证明：设a、b、c及ta、tb、tc为△ABC的三条边及三条角平分线。作△ABC的外接圆交∠A的平分线AD的延长线于E，连EC，则△EAC∽△BAD同理ac>tb2,ab>ta2.∴a2b2c2>ta2tb2tc2,即abc>tatbtc.例6自△ABC的顶点A引两条射线交BC于D、E，使∠BAD=∠

4、CAE.（上海市1986年初中数学竞赛题）证明：作△ADE的外接圆交AB于F，交AC于H，连FH、则∴FH∥BC.显然，当E重合于D时，有这就是三角形内角平分线性质定理；当BD=CE时,有BE=CD，从而有这就是1986年全国初中数学竞赛题例7在△ABC中，∠C=3∠A，a=27,c=48,求b（第36届美国中学生数学竞赛题）。解：作∠ACD=∠BCE=∠BAC交△ABC的外接圆于D、E，连AD、DE、EB、DB，则AD=DE=EB=BC=27，DC=AB=48.设DB=CE=x，则在四边形DEBC中，由托勒密定理，有在四边形ADBC中，由DB·AC+AD·BC=AB·DC得