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时间:2018-07-25
《两类平几题的辅助圆解(证)法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、两类平几题的辅助圆解(证)法毛永吉发表于“数学教学通迅”1991年笫3期添加辅助线是解决初等几何问题的重要手段之一,同时也往往是解题的关键之所在。以点、线段和直线等作为辅助线是大家最熟悉和最常用的,至于以圆或圆弧作为辅助线则少见。本文专门谈以圆作为辅助线(称为辅助圆)的两类平几问题。一、共端点的等线段问题,常作以公共端点为圆心,等长线段为半径的确圆,则易沟通题设和结论的联系,使问题迅速获解。例1已知四边形ABCD中,AB//CD,AB=AC=AD=5,BC=,求BD.解:以A为圆心、AB为半径画圆,则
2、B、C、D三点在⊙A上.延长BA交⊙A于E,连结DE.因BE是⊙A的直径T∠EDB=900且BE=2AB=10.例2(上海1984年初中数学竞赛题)如图,AB=AC=AD,∠DAC是∠CAB的K倍,则∠DBC是∠BDC的()倍.(A)K倍;(B)2K倍;(C)3K倍;(D)都不对.解:以A为圆心,AB为半径画圆,则B、C、D三点在⊙A上.由圆周角定理可得.所以答案是(A).例3如图,AB=AC=AD=BC,AH⊥CD,CP⊥BC.证明:以A为圆心AB为半径作⊙A,则B、C、D都在⊙A上,且∴∠BDC=
3、∠ACP.∴△BDC∽△ACP.∴BC:AP=BD:AC.∴BC2=AP·BD.二、共顶点的等角问题,常作以公共顶点为一个顶点的三角形的外接圆,从而使等角与辅助圆中有关角的性质建立起联系,从而使问题获得简捷的解决。例4△ABC中,∠A的外角平分线交BC的延长线于D.证明:作△ACD的外接圆交BA的延长线于F.连结FD,则DC=DF.∵∠ACB=∠DFB,∠B=∠B,∴△ABC∽△DBF例5证明任何三角形三个内角的平分线的连乘积必小于三边的连乘积.证明:设a、b、c及ta、tb、tc为△ABC的三条边及
4、三条角平分线。作△ABC的外接圆交∠A的平分线AD的延长线于E,连EC,则△EAC∽△BAD同理ac>tb2,ab>ta2.∴a2b2c2>ta2tb2tc2,即abc>tatbtc.例6自△ABC的顶点A引两条射线交BC于D、E,使∠BAD=∠CAE.(上海市1986年初中数学竞赛题)证明:作△ADE的外接圆交AB于F,交AC于H,连FH、则∴FH∥BC.显然,当E重合于D时,有这就是三角形内角平分线性质定理;当BD=CE时,有BE=CD,从而有这就是1986年全国初中数学竞赛题例7在△ABC中,∠
5、C=3∠A,a=27,c=48,求b(第36届美国中学生数学竞赛题)。解:作∠ACD=∠BCE=∠BAC交△ABC的外接圆于D、E,连AD、DE、EB、DB,则AD=DE=EB=BC=27,DC=AB=48.设DB=CE=x,则在四边形DEBC中,由托勒密定理,有在四边形ADBC中,由DB·AC+AD·BC=AB·DC得
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