教案 空间向量的位置关系

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1、【教学过程】一、引入空间向量的坐标运算只是涉及简单的加减乘除运算，因此运用向量来解析空间结构会显得更加的简便，本节课我们就把空间直线、平面间的位置关系的判定和量化问题转化为向量之间关系的判定和量化．二、概念分析空间当中直线与平面的关系有平行与相交两种关系，当无限延伸直线与平面，两者没有任何交点则两者的位置关系为平行，反之即为相交。与平面无论是平行的还是相交的都有很多条直线，用几何方法判定它们之间的关系会比较困难，现在我们学习了空间向量，运用空间向量的特点则可将位置关系的判断简化。首先，我们需要用向量来表示直线与平面，由于直线与平面都有无限延伸的特点，因此用

2、向量来表示它们往往只考虑方向，并不纠结于向量的大小。图15-29ab1)空间直线的方向向量l我们把与一条直线平行的向量叫做该直线的方向向量．在图15-29中，向量a、b都平行于直线l，因此都是直线l的方向向量．可见，一条直线的方向向量并不唯一．(2)平面的法向量图15-30nma对于一个平面来说，如何用向量表示呢，三角形可以确定一个平面，那至少需要两个向量来表示平面，为了使问题更加简化，我们用垂直与平面的这一向量来表示平面，平面一旦确定，与其垂直的向量方向也就固定了，我们把与一个平面垂直的向量就叫做这个平面的法向量，在图15-30中，向量m、n都垂直于平面

3、a，因此都是平面a的法向量．可见，一个平面的法向量并不唯一．接下来我们就用这些向量来表示直线与平面的位置关系。2．用空间直线的方向向量、平面的法向量表示位置关系设a1、a2依次为空间直线l1、l2的方向向量，n1、n2依次为平面a1、a2的法向量．直线、平面间的位置关系及其相应的方向向量或法向量的关系反映在图15-31(1)—(9)中．a1图15-31(1)(l1∥l2Ûa1∥a2)l1a1a2l2图15-31(2)(l1^l2Ûa1^a2)l1a1a2l2·图15-31(3),(l1,l2既不平行也不垂直Ûa1,a2既不平行也不垂直，cos(l1^l2)

4、=

5、cos(a1^a2)

6、)l1a1a2l2··l1a2l2··图15-31(4)(a1∥a2Ûn1∥n2)n2n1a1a2图15-31(5)(a1^a2Ûn1^n2)n2a1a2n1·图15-31(6)(a1、a2既不平行，也不垂直Ûn1,n2既不平行，也不垂直,cos(l1^l2)=

7、cos(a1^a2)

8、)(a1^a2是a1、a2所成的角)n2a1n1a2·n2a1n1a2·图15-31(7)(l1∥a1Ûa1^n1)a1a1l1n1图15-31(8)(l1^a1Ûa1∥n1)a1a1l1n1图15-31(9)(l1、a1既不平行，也不垂直Ûa1,n

9、1既不平行，也不垂直，cos(l1^a1)=

10、sin(a1^n1)a1a1l1n1a1a1l1n1由此可见，利用空间直线的方向向量和平面的法向量，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，都可以转化为两个向量的平行、垂直的判定及夹角的计算．一、例题讲解例1求证：若两条直线垂直于同一平面，则这两条直线平行．证明设l1、l2垂直于平面a．记l1、l2的方向向量为a1、a2，a的法向量为n．由l1⊥知a1∥n，所以a1=l1n，同理a2=l2n．解得a1=a2，所以a1∥a2．即l∥l1．例2求证：(1)两个平行平面与第三个平面相交，所得交线平行；图15

11、-32(1)a2a1bl1l2nn1n2a1a2(2)过已知平面的一条垂线的平面，都与已知平面垂直．证明(1)如图15-32(1)，设平面a1∥平面a2，a1Çb=l1，a2Çb=l2．设平面、、b,的法向量为n1、n2、n，交线l1、l2的方向向量为a1、a2．因为a1∥a2，所以n1∥n2，所以n1、n2、n共面．不妨设共面于g．l1Ìa1Þa1^n1，l1ÌgÞa1^n，所以a1垂直于平面g．l2Ìa2Þa2^n2，l2ÌgÞa2^n，所以a2垂直于平面g．由例1即知l1∥l2．图15-32(2)aaln1n2b(2)如图15-32(2)，设l^a，

12、lÌb．记l的方向向量为a，a、b的法向量分别为n1,n2．l^aÞa

13、

14、n1，lÌbÞa^n2，所以n1^n2，则a^b．一、课堂练习1.求证：垂直于同一条直线的平面互相平行．2.求证：若直线l与平面a内两条相交直线垂直，则l^a．【小结】课堂小结：本节课我们借助向量来判定直线、平面的位置关系，由此可以将空间问题简化为两向量的关系，当直线与平面垂直时，直线方向向量与平面法向量平行，当直线与平面平行时，直线方向向量与平面法向量，两者正好相反。