复杂应力状态强度问题

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1、复杂应力状态强度问题8-4试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力ór3，弹性常数E和µ均为已知。(a)棱柱体轴向受压；(b)棱柱体在刚性方模中轴向受压。题8-4图(a)解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图a），三个主应力依次为σ1=σ2=0，σ3=−σ由此可得第三强度理论的相当应力为22σr3=σ1−σ3=σ(a)22(b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图b），可先取受力微体及坐标如图8-4所示，然后计算其应力。22由图8-4可得σy=−σ22根据刚性方模的约束条件，有22εx=即1[σEx−µ

2、(σy+σz)]=022σx=µ(σy+σz)22注意到σz=σx2222故有σx=σz=−µσ1−µ2222三个主应力依次为σ1=σ2=−µ1−µσ，σ3=−σ2222由此可得其相当应力为σr3=σ1−σ3=1−2µσ1−µ(b)22比较：按照第三强度理论，(a)、(b)两种情况相当应力的比值为22σr=r3(a)=σr3(b)1−µ1−2µ22r>1，这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。228-5图示外伸梁，承受载荷F=130kN作用，许用应力[ó]=170MPa。试校核梁的强度。如危险点处于复

3、杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。22解：1.内力分析题8-5图223由题图可知，B+截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为22Fs=F=130kN，M=Fl2=130×103N×0.600m=7.80×104N⋅m222．几何量计算223I=[0.122×0.280z12−5−(0.122−0.0085)×(0.280−2×0.0137)12]m4=7.07×10−5m422W=7.07×10z0.140m3=5.05×10−4m322Sz(b)=0.122×0.0137×(0.140−0.0137)

4、m3=2.23×10−4m3=2S2z(a)22Sz,max=[2.23×10−4+1×0.0085×(0.140−0.0137)2]m3=2.90×10−4m3222式中的足标b，系指翼缘与腹板的交界点，足标a系指上翼缘顶边中点。三个可能的危险点（a、b和c）示如图8-5。3．应力计算及强度校核点a的正应力和切应力分别为22Mσ==7.80×104N=1.545×108Pa=154.5MPa22zW5.05×10−4m23−422FSτ=sz(a)=130×10×1.115×10N=1.496×107Pa=1

5、4.96MPa22Izt7.07×10−5×0.0137m222该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为22ór3=ó2+4ô2=154.52+4×14.962MPa=157.4MPa<[ó]22点b的正应力和切应力分别为22σ=Myb43=7.80×10×(0.140−0.0137)N=1.393×108Pa=139.3MPa22zI7.07×10−5m222FSτ=sz(b)=130×10×2.23×10−4N=4.82×107Pa=48.2MPa22Izδ7.07×10−5

6、×0.0085m222该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为22ór3=139.32+4×48.22MPa=169.4MPa<[ó]22点c处于纯剪切应力状态，其切应力为22FSτ=sz,max3=130×10×2.90×10−4N=6.27×107Pa=62.7MPa22其相当应力为Izδ7.07×10−5×0.0085m222ór3=2ô结论：该梁满足强度要求。=2×62.7MPa=125.4MPa224．强度校核依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为σr3(a)=σ1−σ3=[155.9−(

7、−1.44)]MPa=157.3MPaσr3(b)=[154.4−(−15.05)]MPa=169.5MPa22σr3(c)=2τ=2×62.7MPa=125.4MPa22它们均小于许用应力，故知该梁满足强度要求。8-8图示曲柄轴，承受载荷F=10kN作用。试问当载荷方位角è为何值时，对截面A-A的强度最为不利，并求相应的相当应力ór3。22解：1.分析内力题8-8图22由于A-A为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷F无需分解，可直接用以分析内力。根据平衡关系，截面A-A上的剪力、弯矩和扭矩值（绝对值）分别为22Fs

8、=F=10kN，M=Fl=10×103×0.070N⋅m=700N⋅m22T=Facosθ由此可见，F的方位角θ对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当θ取最大值，对截面A-A的强度最为不利，其值为=0时扭矩22Tmax2．计算相当应力=Fa=