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时间:2017-11-13
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1、函数值域的求法例谈河南.商丘市一高隋俊礼初学函数,同学们往往对函数值域的求法感到困难,例谈如下,以期抛砖引玉.一.配方法:配方法是求“二次函数型”值域的常用方法,可以用来求形如的函数的值域.例1.求函数的值域.解:由配方得,∴函数的值域为.例2.求函数()的值域.解:,∵,∴,∴∴,∴∴函数()的值域为.另外,能通过换元转化为“二次函数型”的,也可以利用配方法求值域.例3.求函数的值域.略解:不妨设:,配方得:故点评:注意“”的限制.二.换元法:形如的函数可以利用换元法转化为“二次函数型”求值域.例4.求函数的值
2、域.略解:令:,则.故点评:换元时要注意新变量“t”的范围,否则将会发生错误.3三.判别式法:求形如(、不同时为零)的函数的值域,通常把函数转化成关于的二次方程;通过方程有实数根,判别式求解.例5.求函数的值域.解:由变形得,当时,此方程无解;当时,∵,∴,解得,又,∴∴函数的值域为.四.分离常数法:形如y=的函数可用分离常数法求值域.例6.求函数的值域.解:∵,∵,∴,∴函数的值域为.五.分析法:形如y=,x[m,n]的函数可用分析法求值域.例7.求函数(-1x1)的值域.解:∵,,∴,∴函数(-1x1)的值域
3、为.3六.图像法:利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,也是一种求值域的重要方法.yox-385例8.求函数的值域.解:∵,∴的图像如图所示,由图像知:函数的值域为七.利用函数的有界性:利用某些函数有界性求得原函数的值域.例9.求函数的值域.解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为,对函数进行变形可得,∵,∴(,),∴,∴,∴函数的值域为八、利用函数的单调性:利用函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,也可以求出函数的值域.例10.求函数的值域.解:∵当增大时,随的增大而减少,随的增大而增大,∴函
4、数在定义域上是增函数.∴,∴函数的值域为.当然,一道求值域的题目往往有不止一种解法,请同学们自己去探究.随着今后学习的进一步深入,同学们还会学到求函数值域的其他方法.3
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