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1、第七章：空间解析几何与向量微分本章内容简介在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。7.1空间直角坐标系一、空间点的直角坐标 为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以
2、右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如下图所示） 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一
3、个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示) 坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。 注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征. 例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点，则x=y=z=0，等。二、空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x
4、2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式： 例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得： 由于，所以△ABC是一等腰三角形7．2方向余弦与方向数解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。方向角与方向余弦 设有空间两点，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为有向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与O
5、x,Oy,Oz三个坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π. 关于方向角的问题 若有向线段的方向确定了，则其方向角也是唯一确定的。 方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。 设有空间两点，则其方向余弦可表示为： 从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式： 注意：从原点出发的任一单位的有向线段的方向余
6、弦就是其端点坐标。方向数 方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向，但是，如果只需要确定一条空间直线的方位(一条直线的两个方向均确定着同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道与方向余弦成比例的三个数就可以了。这三个与方向余弦成比例且不全为零的数A，B，C称为空间直线的方向数，记作：{A，B，C}.即： 据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式： ，， 其中：根式取正负号分别得到两组方向余弦，它们代表两个相反的方向。 关于方向数的问题 空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。两直线的夹角：设L1
7、与L2是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可能不相交.通过原点O作平行与两条直线的线段.则线段的夹角称为此两直线L1与L2的夹角. 若知道L1与L2的方向余弦则有公式为： 其中：θ为两直线的夹角。 若知道L1与L2的方向数则有公式为： 两直线平行、垂直的条件 两直线平行的充分必要条件为： 两直
