数学的“梯子”--数学方法选讲

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1、数学的“梯子”--数学方法选讲长乐一中数学组校本教材数学的“梯子”--数学方法选讲　　同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。第一讲从简单情况考虑　　华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。【例题】1.两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平

2、放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？2．线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。这时，图中共有1997条互不重叠的线段。问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？3．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到

3、最后还剩下一个人。问：这个学生的编号是几号？20数学的“梯子”--数学方法选讲长乐一中数学组校本教材4．在6×6的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的。那么，总共至少要涂红多少小方格？【练习】1.方程x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn一定有一个自然数解吗？为什么？2.连续自然数1，2，3，…，8899排成一列。从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？3.给出一个自然数n，n的约数的个数用一个记号A（n）来表示。例如当n=6时，因为6的约数有1，2，3，6四个，

4、所以A（6）=4。已知a1，a2，…，a10是10个互不相同的质数，又x为a1，a2，…，a10的积，求A（x）。20数学的“梯子”--数学方法选讲长乐一中数学组校本教材第二讲从极端情况考虑　　从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。【例题】5．新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次？6．有n名（n≥3）选手参加的一次乒

5、乓球循环赛中，没有一个全胜的。问：是否能够找到三名选手A，B，C，使得A胜B，B胜C，C胜A？7．n（n≥3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。　　试证明，总可以从中去掉一名选手，而使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同。20数学的“梯子”--数学方法选讲长乐一中数学组校本教材8．在一个8×8的方格棋盘的方格中，填入从1到64这64个数。问：是否一定能够找到两个相邻的方格，它们中所填数的差大于4？【练习】4.平面上有100个点，无三点共线。将某些点用线段连结起来，但线段不能相交，直到不能再连结时为止。问：是否存在一个以这些点中的三个

6、点为顶点的三角形，它的内部没有其余97个点中的任何一个点？5.在一块平地上站着5个小朋友，每两个小朋友之间的距离都不相同，每个小朋友手上都拿着一把水枪。当发出射击的命令后，每人用枪射击距离他最近的人。问：射击后有没有一个小朋友身上是干的？为什么？6.把1600粒花生分给100只猴子，请你说明不管怎样分，至少有4只猴子分的花生一样多。20数学的“梯子”--数学方法选讲长乐一中数学组校本教材第三讲从整体考虑　　从整体上来考察研究的对象，不纠缠于问题的各项具体的细节，从而能够拓宽思路，抓住主要矛盾，一举解决问题。【例题】9．右图是一个4×4的表格，每个方格中填入了数字0或1。按下列规则进行“操

7、作”：每次可以同时改变某一行的数字：1变成0，0变成1。问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1？10．有三堆石子，每堆分别有1998，998，98粒。现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如行，请设计一种取石子的方案；如不行，请说明理由。20数学的“梯子”--数学方法选讲长乐一中数学组校本教材【