数学论文：《谈培养空间想象能力的层次性及操作程式》

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1、谈培养空间想象能力的层次性及操作程式空间想象能力是教学大纲中确定的三大基础能力之一，这种能力的培养应有一个渐进的过程．由于初中的美术、工艺制作等课程不能正常开设，使学生升入高中后所具空间概念非常薄弱，而平面几何的定势思维又给空间概念的形成带来了认知上的障碍．因此，立体几何教学的分层次、有步骤、循序渐进就显得非常必要．以下是笔者所作的一点尝试．1　形成阶段，借助直观立体几何入门阶段，教师运用教具助教，学生制作模型助学，可促使图形在学生头脑中“竖”起来．1.1　借助模型分析、判断在讲“过不在一直线上三点有且只有一个平面”时可借助直观模型：老人的拐杖、单撑自行车等帮助理解．讲“直线

2、和直线外一点确定一个平面”，可这样处理，提问：“门为什么在加上插销后才能固定呢？”生活现象解释了科学的理论．模型不仅可验证结论，而且能够发现真理．如在讲“二面角的平面角”一节时，可设计教学过程：将书张开构成一二面角，并不断改变张口大小，提出问题：从模型的变化可发现二面角有大小之分，请问，用怎样的量度量它呢？（停顿片刻），问：回忆一下，对异面直线所成角、直线和平面所成角是用什么方法度量的呢？（转化为平面内的角），那么，能否用一平面上的角表示二面角的大小呢？用怎样的角表示二面角的大小呢？（通过模型演示可以发现，书边界处的角能反映二面角的大小）．由此引入“二面角的平面角”的概念．1

3、.2　重视画图，“型”图对照模型是初步形成空间概念时的辅助工具，但过于依赖模型又将妨碍空间想象能力的进一步发展．因此，教学过程中要做好有“型”到无“型”的过渡工作．重视画图，“型”图对照是实现这一过渡的有效手段．当然，画图教学应具有层次性．1.2.1　重视直观图画法的教学6画平面图形、几何体的直观图、引导学生进行直观图与实际模型的对比想象，再根据直观图想象其实际形状，对提高空间想象能力以逐渐丢掉“模型”是有显著功效的．1.2.2　由学生自己画图表示空间对象的位置关系如讲直线与平面的位置关系时，先让学生通过模型发现所有可能关系：在面内、相交、平行，再让学生用适当的图形将这些位置

4、关系表示出来．这样做，在图形的逐步“修正”的过程中增强了空间想象能力．1.2.3　如何画才更有立体感？不仅会画，而且要画出很强的立体感，这种高要求对强化空间概念是十分有益的．如我在讲异面直线时，让学生画出表示两条异面直线的图形，学生们画出了下面的图：让学生自己判断哪些最具立体感？由此逐步掌握增强图形立体感的一些常用方法，如辅助平面衬托法、几何体映衬法等．在此过程中空间想象能力自然增强了．2　发展阶段，增强抽象经过完全依赖模型到模型、图形并用的阶段后，要逐步过渡到完全丢弃模型的阶段，渐渐地增强抽象性是实现过渡的必要条件．2.1　引导读图6教材刚开始给过这样一个问题：观察甲、乙两

5、个图形，用模型说明它们的位置有什么不同，对初学者来说，要读懂图形“模型”似乎是必要的，但是，读图不能总离不开模型，直接由图想象空间实际位置关系对进一步发展空间想象能力是非常必要的．如对高一立体几何第37页，习题五第8题：如图，直线AC，DF被三个平行平面所截，求证：，可让学生自己读图，想象空间的实际形状．有学生会将直线AC，DF想象成共面直线．这并不是坏事，通过启发、引导、修正的过程，一个“平”的图形一定能在其头脑中“立”起来．2.2　直觉想象即进行无图想象，其抽象性更高了一层．2.2.1　由平面想到空间即将平面几何中定理放到空间的背景下想象其是否成立．如：在空间中，垂直于同

6、一直线的两直线平行吗？2.2.2　想象位置关系如：已知平面，直线均垂直于平面，请判断与的位置关系．以上两例要求学生能全方位地想象各种可能情形，其强化空间概念的功能是很显然的．2.2.3　想象特殊模型这是一种构造想象．如可提出问题：已知三棱锥三条侧棱两两互相垂直，底面上一点P到三侧面的距离分别为3，4，5，求此点到三棱锥顶点的距离．处理本题的关键是想象出一个以P和三棱锥顶点为相对顶点的长方体：由P分别向三侧面作垂线PA，PB，PC，其中A，B，C为垂足，则以PA，PB，PC为三度的长方体的对角线长即为所求．1993年高考第20题，在半径为30m的圆形广场中央上空设置一照明光源，

7、射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度为　　m．正是对这种构造想象能力的测试．2.2.4　由局部想到整体6根据图形的特征，想象能反映其实质的整体图形，可在渗透局部与整体的辩证转化思想的同时增强空间想象能力．如91年高考试题：在球面上P，A，B，C四点，PA＝PB＝PC＝a，且PA，PB，PC两两互相垂直，求该球的表面积．该题要求考生能根据条件想象出一个正方体，且该球面是正方体的外接球面，而球心正好在正方体的中心，从而求出球的半径．据国家考试研究中