高二数学培优讲义合情推理与演绎推理

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1、衡阳个性化教育倡导者第十四讲合情推理与演绎推理教学目标：1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2、了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3、了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.一、知识回顾课前热身知识点1、合情推理(1)归纳推理：①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中

2、一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．知识点2、演绎推理(1)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．课前练习1．下面几种推理是合情推理的是(　　)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°

3、，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②　　　　　B．①③C．①②④D．②④解析：选C　①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．衡阳个性化教育倡导者2．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52013的末四位数字为(　　)A．3125B．5625C．0625D．8125解析：选A　55＝3125,56＝15625,57＝78125，，58＝390625，59＝1953125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4

4、k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2013＝4×502＋5，所以52013与55后四位数字相同为3125.3．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：选B　①②不正确，③正确．二、例题辨析推陈出新例1、(1

5、)(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)A．28　　　　　B．76C．123D．199(2)设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解答]　(1)记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*

6、，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.(2)f(0)＋f(1)＝，f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝，猜想f(x)＋f(1－x)＝，证明：∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝＝.∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝＝.[答案]　(1)C利用本例(2)的结论计算f(－2014)＋f(－2013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2015)的

7、值．解：∵f(x)＋f(1－x)＝，∴f(－2014)＋f(－2013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2015)＝[f(－2014)＋f(2015)]＋[f(－2013)＋f(2014)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＝2015×＝.　　　　衡阳个性化教育倡导者变式练习1．观察下列等式：　可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．解析：第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10，15×15，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)

8、2＝n2(n＋1)2.答案：n2(n＋1)2例2、(2013·广州模拟)已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结