学习复变函数的体会

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1、学习复变函数的体会我们都知道复变函数是数学专业的基础课之一，又是数学分析的后继课，所以如果数学分析没有学得透彻，明显感觉复变中有一些知识学得会很吃力。首先，第一章就让我了解到将实数域扩大到复数域，可以解决很多我们用实数无法解决的问题。其实复数和实数有联系也有区别。联系是复数的实部和虚部都是实数。区别是复数不能比较大小，而且复数表现形式多样，有代数形式、三角形式和指数形式，可以互相转换，使用上也各有其便。此外，如果规定非零复数z的主辐角argz合条件0≤argz＜2π，则它与Arctgy/x的主值arctgy/x的关系如下：argtgy/x当z在第一象限时；π/2当x=0,y>

2、0时；argtgy/x+π当z在第二、三象限时；argz=-π/2当x=0,y<0时；argtgy/x-π当z在第四象限时；和实数不同，复数还可以表示向量，Z1-Z2表示Z2到Z1这个向量，∣Z1-Z2∣表示这两点的距离。显然它可以引出邻域这个概念，也是复变函数极限论的基础。这里，三角不等式就不多说了。复数在代数和几何上的应用，主要是灵活的应用复数的一些基本性质与复数的向量表示，适当的旋转一个向量，即是此向量所表示的复数适当地乘以一个单位复数。接着便是曲线的概念，特别是简单闭曲线、光滑或逐段光滑曲线和区域单连通和多连通几个基础几何概念，容易记不住。此外，通过学习复变函数W=f

3、(z)，可看成从Z平面上的点集E到W平面上的点集F的满变换，使一些问题形象化。复变函数的极限概念与事变函数的概念形式上尽管一样，但实际上前者比后者要求苛刻的多。复变函数极限存在，等价于其实部和虚部极限都存在，复变函数连续，等价于其实部和虚部都连续。最后，我还初步了解到复球面和无穷远点的概念。otherstaffoftheCentre.Duringthewar,ZhuwastransferredbacktoJiangxi,andDirectorofthenewOfficeinJingdezhen,JiangxiCommitteeSecretary.Startingin1939s

4、ervedasrecorderoftheWestNorthOrganization,SecretaryoftheSpecialCommitteeAfterthevictoryofthelongMarch,hehasbeentheNorthwestOfficeoftheFederationofStateenterprisesMinister,ShenmufuguSARmissions,DirectorofNingxiaCountypartyCommitteeSecretaryandrecorderoftheCountypartyCommitteeSecretary,Minist

5、ersand相比于第一章，第二章就有点渐渐走进复变函数这门学科的感觉。解析函数，一个之前从未听过的数学名词。它和实变函数一样，也有导数，虽然定义形式上，二者情形一样，但从实质上讲，复变函数在一点可导可比实变函数严格的多。在实变函数中找一个处处连续却处处不可导的函数很不容易，但在复变函数中却很简单。最最重要的是，实函中的微分中值定理不能直接用到复函中。解析函数有很多很好的性质，C.-R.条件是判断函数可微和解析的主要条件。函数f(z)在区域D内可微等价于D内解析，但是在一点可导推不出在那一点解析。定理2.2是判断可微的充要条件，我觉得很好用。此外，定理2.4是刻画函数f(z)在

6、区域D内解析的充要条件，定理2.5是充分条件，这些定理到后面经常要用到。初等单值函数和初等多值函数是数学分析中基本函数的延伸。指数函数令人印象深刻的就是它2πi的周期，正、余弦函数在复数域内不能在断言：

7、sinz

8、≤1,

9、cosz

10、≤1。单值函数学起来较为简单，多值函数却让人有点迷糊。如根式函数及对数函数它们出现多值的原因就是z确定后其辐角不唯一确定。因此适当割破z平面（如沿着负实轴割破），就能将它们分成单值连续解析分支，从而能取出适合指定条件的单值解析分支。而这里支割线的确立，对我而言，是一个难点，经常难以把握。对于复对数，我知道了一个非零复数的对数仍是复数，而且是无穷多值

11、的，“负数无对数”的说法，如今在复数域内应该为“负数无实对数”。反三角函数和一般幂函数都是以对数函数表示的，就不再多说。幂函数的单叶性区域，是顶点在原点Z=0，张度不超过2π/n的角形区域。指数函数的单叶性区域，是Z平面上平行于实轴的宽不超过2π的带型区域。下面的学习就跟数学分析联系的相当紧密。如复曲线积分仍是作为一种和的极限来定义的，它的积分问题，可以转化为两个二元实函数的积分问题，但这个通过后面的学习，我不常用这个。从积分路径C入手，运用参数方程的方法才是我们常用的。关于路径C:

12、

13、=otherst