【数学】江苏省无锡市第一中学2013-2014学年高二上学期期中考试（文）

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1、江苏无锡一中2013—2014学年度上学期期中考试高二数学文试题一、填空题（本大题共有14小题，每小题5分，共70分）1．命题：“，”的否定为：．2．抛物线的焦点坐标为．3．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为．4．双曲线的渐近线方程为．5．“”是“”的条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）6．椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为．7．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是．（填写所有正确命题的序号）①若，则；②若∥，则；③若∥，则∥；④若∥∥，则∥.8.用长、宽分别是12与8的矩形硬纸卷成圆

2、柱的侧面，则圆柱的体积为．9．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是．10.已知双曲线的一条准线方程是，则实数．11.设是球表面上的四个点，两两垂直，且，，，则该球的表面积为．812.已知直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围为．13.在中，已知，则面积的最大值是．14.已知直线与椭圆相交于两点，且为坐标原点)，若椭圆的离心率，则的最大值为．二、解答题（本大题共有6小题，满分90分．解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤）15.已知且.设命题函数是定义在R上的增函数；命题关于的方程有两个不等的负实根.若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数

3、的取值范围.16.如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，．求证：（1）∥平面；（2）平面平面．17.已知双曲线以点为顶点，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求离心率为，且以双曲线的焦距为短轴长的椭圆的标准方程；（3）已知点在以点为焦点、坐标原点为顶点的抛物线上运动，点的坐标为，求的最小值及此时点的坐标.818.如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线段的中点．（1）求边所在直线方程；（2）求三角形外接圆的方程；（3）若动圆过点且与的外接圆内切，求动圆的圆心所在的曲线方程．19.如图，平面四边形中，，，，沿对角线将折起，使平

4、面与平面互相垂直.（1）求证：；（2）在上是否存在一点，使平面，证明你的结论；（3）求点到平面的距离.20.在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,右顶点为,直线过原点,且点在轴上方,直线与分别交直线于点.（1）若点,求的面积；（2）若点为动点,设直线与的斜率分别为.①试探究是否为定值.若为定值，请求出值；若不为定值,请说明理由.②求的面积的最小值.8参考答案1．2．3．4．5．必要不充分6．7．②8．或9．10．11.12.13.14.15.已知且.设命题函数是定义在R上的增函数；命题关于的方程有两个不等的负实根.若“或”为真命题，“且”为假命题，求

5、实数的取值范围.解：真：依题意，…………………4分真：（法二：）用韦达也可以…………………6分或为真，且为假一真一假…………………7分…………………11分…………………14分16.如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，．求证：（1）∥平面；（2）平面平面．证明：（1）分别是的中点……………3分又8…………………6分（2）直三棱柱…………………7分又…………………9分又…………………12分又…………………14分17.已知双曲线以点为顶点，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求离心率为，且以双曲线的焦距为短轴长的椭圆的标准方程；（3）已知点在以

6、点为焦点、坐标原点为顶点的抛物线上运动，点的坐标为，求的最小值及此时点的坐标.解：（1）依题意，…………………2分设将代入，得双曲线标准方程为：………………4分（2）由（1）知，椭圆标准方程为：或…………………9分（3）依题意，抛物线标准方程为：设点到准线的垂线段为此时，…………………14分18.如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B（0，－2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．（1）求BC边所在直线方程；（2）求三角形外接圆的方程；8（3）若动圆过点且与的外接圆内切，求动圆的圆心所在的曲线方程．解：（1）∵kAB=－，A

7、B⊥BC，∴kCB=，　　……………………………2分∴直线BC方程为:y=x－2．……………………………4分（2）直线BC与x轴交于C,令y=0，得C(4，0)，∴圆心M（1，0），……………7分又∵AM=3，∴外接圆的方程为．……………………10分（3）∵P(－1，0)，M(1，0)，∵圆N过点P(－1，0)，∴PN是该圆的半径．又∵动圆N与圆M内切，∴MN=3－PN，即MN+PN=3．……………12分∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆，……………14分∴a=，c=1，b2=a2－c2=，∴轨迹方程为．…………………16分19.如图，

8、平面四边形中，，，，沿对角线将折起，使平面与平面互相垂直.（1）求证：；（2）在上是否存在一点，使平面，证明你的结论；（3