【数学】江苏省扬州市邗江中学（集团）2013-2014学年高二下学期期中考试（理）

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1、第Ⅰ卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．复数的虚部为______.2．用反证法证明：“”，应假设为▲．3．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，8，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，则这组数据的方差为▲．4．某校有教师200人，男生1200人，女生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知女生抽取的人数是80人，则▲．5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是10，则输入的x的值是▲．6．如图是从甲、乙两个班级各随机选出9名同学进行测验成绩的茎叶图，从图中看，平均成绩较高

2、的是▲班．8．若直线与函数图象的切线垂直且过切点，则实数▲．9．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．10．如图，正方体,点M是的中点，点O是底面的中心，P是上的任意一点，则直线BM与OP所成的角大小为▲．1011．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为▲．12．命题“时，满足不等式”是假命题，则的取值范围▲．13．过原点向曲线可作三条切线，则实数的取值范围是▲．14．如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形ABCD的面

3、积为，则的最小值是▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．(本题满分14分)设：方程表示双曲线；：函数在R上有极大值点和极小值点各一个．求使“”为真命题的实数的取值范围．17．(本题满分14分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为。记甲击中目标的次数为ξ，乙每次击中目标的概率为η。（1）、求ξ的概率分布。10（2）、求ξ和η的数学期望。18．(本题满分16分)CDABSP如图，四棱锥的底面是矩形，⊥底面，，，且为的中点．（1）求异面直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦

4、值．19．(本题满分16分)某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少亿元，至多亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。（1）若，，请你分析能否采用函数模型y＝作为生态环境改造投资方案；（2）若、取正整数，且<，并用函数模型y＝作为生态环境改造投资方案，请你求出、的取值．20．(本题满分16分)已知函数，（1）求函数的极值；（2

5、）若时，恒成立，求实数的值；（3）当时，求证：在区间上有且仅有一个零点。102013-2014学年第二学期高二数学期中试卷（理科）参考答案及评分标准二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．(本题满分14分)设：方程表示双曲线；：函数在R上有极大值点和极小值点各一个．求使“”为真命题的实数的取值范围．解：命题P：∵方程表示双曲线，∴，即或。………………5分命题q：∵函数在R上有极大值点和极小值点各一个，∴有两个不同的解，即△＞0。由△＞0，得m＜－1或m＞4。………………10分又由题意知“p且q”为真命题，则p，q都是

6、真命题,∴．的取值范围为．………………14分16．(本题满分14分)一只袋中装有2个白球、3个红球，这些球除颜色外都相同。10（Ⅰ）从袋中任意摸出1个球，求摸到的球是白球的概率；（Ⅱ）从袋中任意摸出2个球，求摸出的两个球都是白球的概率；（Ⅲ）从袋中任意摸出2个球，求摸出的两个球颜色不同的概率。解：（Ⅰ）从5个球中摸出1个球，共有5种结果，其中是白球的有2种，所以从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率为………………4分17．(本题满分14分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为。记甲击中目标的次数为ξ，乙每次击中目标的概率为η。（1）、求ξ的概率分布。（2

7、）、求ξ和η的数学期望。解、（1）ξ0123P1/272/94/98/27(6分)（2）、E（ξ）=3×2/3=2(10分)E（η）=3×1/2=3/2(14分)18．(本题满分16分)CDABSP如图，四棱锥的底面是矩形，⊥底面，，，且为的中点．（1）求异面直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值．10解：因为⊥底面，底面是矩形，所以两两垂直，以所在直线为坐标原点建立如图所示的坐标系，则各点坐标如下：……………2分（1），