【数学】江苏省盐城市阜宁中学2013-2014学年高二下学期期中考试（理）

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1、高二年级春学期期中学情调研数学试题（理科）一、填空题（每题5分，共70分）1．在复平面内，复数对应的点的坐标为▲。2．要证明“”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是▲。（填序号）①反证法②分析法③综合法3．若复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数的值为▲。4．已知数列满足，，且，则▲。5．已知是函数的导数，则=▲。6．下面几种推理是合情推理的是▲。（填序号）①由圆的性质类比出球的性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是1800，归纳得出所有三角形的内角和为1800；③小王某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形的内角和是1800，四边形内角和是

2、3600，五边形的内角和是5400，由此得凸n边形的内角和是.7．已知函数()，则函数的值域为▲。8．已知矩阵，则矩阵A的逆矩阵为▲。9．函数的单调减区间是▲。10．已知变换，点在变换下变换为点，则▲。11．函数在上是增函数，则实数的取值范围是▲。12．已知圆在矩阵对应伸压变换下变为一个椭圆，则此椭圆方程为▲。713．已知函数的定义域为R，为的导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为▲。Oyx14．设直线与函数，的图象分别交于M、N两点，则当MN达到最小时t的值为▲。二、解答题(15,16各14分；17,18各15分；19,20各16分)15．已知复数(其中为虚数单位，)，若为实

3、数。（1）求实数的值；（2）求.16．二阶矩阵；（1）求点在变换M作用下得到的点；（2）设直线在变换M作用下得到了直线，求的方程。17．是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由。18．某公司经销某种产品，每件产品的成本为6元，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件。（1）求公司一年的利润y（万元）与每件产品的售价x的函数关系；（2）当每件产品的售价为多少时，公司的一年的利润y最大，求出y最大值。719．已知阶矩阵，向量。（1）求阶矩阵的特征值和特征向量；（2）计算。20．已知函数（1）求函数在处的切线的斜率；（2）求函数的最大值；（

4、3）设，求函数在上的最大值。7高二数学试题（理科）参考答案1.2.②3.14.－65.66.①②④7.8.9.10.111.12.13.（－2，3）14.二、解答题15．解：（1）……………………………………4分∵………………7分（2）∵………………………9分∵…………………………14分16．解：（1）设则…………………3分∴解得……………………6分（2）设直线l上任一点为，点P在M的作用下得到点在m上则且…………………12分∴即即为所求直线方程……………14分17．解：取和2得解得……………………4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证。………………………6分7（2）假设当n=

5、k，时等式成立即………………………8分那么，当时有………………………10分………………………12分就是说，当时等式成立………………………13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立………………………15分18．（1）＝（）……6分（2）……………………………………………………8分令0，，……10分当时y为增函数，当时y为减函数……12分又，当时y为减函数∴当时，（万元）…………14分答：当每件产品的售价为9元时，一年的利润最大为27万元。…………15分19．解（1）矩阵A的特征多项式为…………4分令解得A的特征值…………6分当时，代入二元一次方程组解得∴特征值时的一个特征向量为…………

6、8分当时，代入二元一次方程组解得∴特征值时的一个特征向量为…………10分7（2）由（1）知，令则…………12分解得…………14分∴…………16分20．解（1）…………2分当时，…………4分（2）由得得。即在上为增，在上为减…………8分∴…………10分（3）i)当即时，在上为增，…………12分ii)当即，在上为增，在为减…………14分iii)当,在为减，7综上得，…………16分7