分块矩阵的一些研究数学专业

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1、本科毕业论文题目：分块矩阵的一些研究学院：数学与计算机科学学院班级：数学本科五班姓名：郑洁指导教师：张红玉职称：副教授完成日期：2011年05月15日分块矩阵的一些研究摘要：在矩阵的某些运算中,对于级数较高的矩阵,常采用分块的方法,将一个矩阵分割成若干个小矩阵,在运算过程中将小矩阵看成元素来处理,对问题的解决往往起到简化的作用.本文通过一些例子来说明分块矩阵的一些应用过程中将小矩阵看成元素来处理,本文主要研究了分块矩阵的一些应用，首先介绍了什么是分块矩阵，以及如何分块，第三部分通过行列式的性质讨论了分块矩阵的性质，最后着重研究了分块矩阵的几种应用.关键词：分块矩阵;行列式;初

2、等变换;应用目录1引言12预备知识13分块矩阵的性质13.1在行列式计算中,我们经常用到下面三条性质:13.2下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.34矩阵分块理论的方法应用54.1利用分块矩阵计算行列式54.2可解决矩阵秩的问题64.3可解决求逆矩阵问题94.4可解决矩阵的特征根问题的举例应用104.5用分块矩阵求解非齐次线性方程组114.6求解线性方程组124.7其他13参考文献161引言在矩阵的某些运算中,对于级数较高的矩阵,常采用分块的方法,将一个矩阵分割成若干个小矩阵,在运算过程中将小矩阵看成元素来处理,对问题的解决往往起到简化的作用.本文通过一些例子来说

3、明分块矩阵的一些应用过程中将小矩阵看成元素来处理.2预备知识矩阵的分块技巧性较强,要根据不同的问题进行不同的分块,常见的分法有四种起到（1）列向量分法为的列向量（2）行向量分法为的行向量（3）分成两块,其中分别为的若干列，或其中分别为的若干行（4）分成四块3分块矩阵的性质3.1在行列式计算中,我们经常用到下面三条性质(1)若行列式中某行有公因子,则可提到行列式号外面;(2)把行列式中的某行乘上某一个非零数,加到另一行中去,其值不变;(3)把行列式中的某两行互换位置,其值变号.利用矩阵的分块,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广.性质1　设矩阵A是由如下分块矩阵组成:

4、17其中都是矩阵，又是任一s阶方阵.对于矩阵:则.证明由=其中是s阶单位矩阵,对上式两边同时取行列式得:.性质2　设方阵是由如下分块矩阵组成:其中都是矩阵,又是任一s阶方阵.对于矩阵:则.证明设为s阶单位矩阵,则.=.于是.性质3　设方阵和写成如下形式:17其中都是矩阵.则,当为偶数时，当为奇数时.证明可由中的与相应的两行对换而得到,而对换行列式的两行,行列式反号,故当为偶数时,,当s为奇数时,.可以证明,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时,这些性质不仅对行成立,对列也同样成立.3.2下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用推论1　设都是阶方阵,则有:.证明　作2n阶

5、行列式:由拉普拉斯展开定理得:.又由性质1并应用于列的情况,有:.推论2　设都是阶方阵,则有:证明　根据定性质1并应用于列的情况,有:例计算行列式:17解　这个行列式看似简单,但如果方法选择不当,做起来并不轻松设，，由推论2知:例计算2阶行列式解令则.推论3　设都是阶方阵,其中,并且,则有:17证明　根据性质1,因为存在,并注意到,用乘矩阵的第一行后加到第二行中去得:从而==.例　计算行列式解设,其中,,由计算知,且所以.4矩阵分块理论的方法应用4.1利用分块矩阵计算行列式分块矩阵是线性代数中的一个基本工具,可以借助分块矩阵的初等变换探讨分块矩阵在行列式计算中的应用,由此来简

6、化行列式的计算.定理1　设是一个四分块阶矩阵,其中A、D分别是m、n阶方阵,则,当可逆时;,当可逆时.定理1虽给出了一种求行列式的方法,但其中涉及求逆及多次矩阵相乘,计算相当繁琐,也不容易记忆.在实际应用中,我们常用的是以下推论:推论1　设是一个四分块2n阶矩阵,其中均是n阶方阵,则(1)当可逆且时,;17(2)当可逆且时,;(3)当可逆且时,;(4)当可逆且时,.证明　仅证(1),(2)、(3)、(4)类似可得.因为可逆,所以存在,注意到,由得:,即.例　计算行列式解　对原行列式先进行加边,然后将加边后的行列式的第一行乘-1倍加到其余各行,得:令由于可逆,从而由定理1的推论

7、得:4.2可解决矩阵秩的问题首先约定用表示n阶单位矩阵，表示阶S单位矩阵.17再给出基本而简单的事实，作为以下引理.引理矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩，两个因子中有一个是可逆的，它们乘积的秩等于另一个因子的秩.引理2秩秩秩.引理3秩=秩=秩秩.引理4秩=秩.引理5秩秩秩.性质1秩秩秩秩,其中A,B均为矩阵.证明因为,于是由引理1得:秩秩秩秩.又因为：秩秩于是由引理1及3得：秩=秩秩秩.综上证明即得:秩(A+B)≤秩≤秩秩证毕.性质2设A为矩阵，则有,秩(E−A)—秩.证明因为于是由引理1、3、4得:秩