【数学】福建省泉州市南安一中2015-2016学年高二上学期期末考试（理）

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1、南安一中2015-2016学年高二上学期期末考试数学（理）第I卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）：1．（）A．B．C．D．2．复数的共轭复数对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如果复数为纯虚数，那么实数的值为（）A．B．C．D．4．函数，若，则a的值等于(　　)A．B．C．D．5．下列函数求导运算正确的个数为(　　)①；②③；④；⑤A．B．C．D．6．设函数的图像如图，则导函数的图像可能是下图中的(　　)

2、7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）9A.B.C.D.8．若直线与曲线相切，则的值为（）A．B．C．或D．9．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．B．C．D．10．若则（）A.B.C.D.111．平面几何中，若△的内切圆半径为，其三边长分别为则△的面积。类比上述命题，若三棱锥的内切球半径为R，其四个面的面积分别为猜想三棱锥体积V的一个公式。若三棱锥的体积V，其四个面的面积均为，根据所猜想的公式计算该三棱锥的内切球

3、半径R为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数满足，则曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分。）：13．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.914．的值等于　　.15．函数在处有极值10，求的值为.16．若函数=的图像关于直线对称，则的最小值是.三．解答题（本大题共6小题，共74分。):17．（本小题12分）观察下列等式：第一个等式第二个等式第三个等式第四个等式照此规律下去：（Ⅰ）写出第五个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳

4、法证明猜想．18．（本小题12分）已知函数．（I）求函数的单调递减区间；（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；19．（本小题12分）三棱柱中，，,,，点、分别为、的中点.（I）求三棱锥的体积（II）求证：∥面9(III)求证：面面20．（本小题12分）某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低元时，每天多卖出的件数与成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．(Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成的函数；(Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？21．（本小题12分）如图，

5、在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(I)求证：C1M∥平面A1ADD1；(II)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．22．（本小题14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，设函数.若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围．9参考答案一．选择题：1~6CDADBD7~12DCBBAA二．填空题：13．14．15．16．三．解答题:17．解：（Ⅰ）第5个等式；2分（Ⅱ

6、）猜测第个等式为，4分再用数学归纳法加以证明如下：（1）当时显然成立；5分（2）假设时也成立，即有6分那么当时左边而右边这就是说时等式也成立．11分根据（1）（2）知，等式对任何都成立．12分18．（本小题12分）解：（Ⅰ）得3分函数的单调递减区间是；5分（Ⅱ）即设则9分当时，函数单调递减；9当时，函数单调递增；最小值实数的取值范围是；12分19．解：（I）∵，∴，又，且，∴∴BC是三棱锥的高.4分（II）设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系所以A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，2)，B1(

7、0，1，2)，C1(0，0，2)．因此E(0，，0)，D(1，0，1)所以=设平面BC1D的一个法向量n＝(x，y，z)，由得：∴∴n＝(1，2，1)此时n。∴n∴∥面8分（III）设平面BCD的一个法向量m＝(x，y，z)，由得：∴m＝(1，0，)此时mn＝(1，0，)(1，2，1)=0∴mn得证：面面12分20．解：（I）由题意可设，每天多卖出的件数为，∴，∴又每件商品的利润为元，每天卖出的商品件数为∴该商品一天的销售利润为9（II）由令可得或当变化时，、的变化情况如下表：0611—0+0—759↘极小值↗极大值975↘0∴当商

8、品售价为14元时，一天销售利润最大，最大值为975元21．解：(I)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC，又M是AB的中点，所以CD∥MA且CD＝MA.连接AD1.因为在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，