余弦定理教学案例

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1、《余弦定理》教学案例天印高级中学张梅一、      教材分析及设计思路1、教材分析 “余弦定理”是全日制普通高级中学教科书（数学必修5）第一章第一节的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识

2、的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。2、设计思路   根据“情境--问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的

3、“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：（1）创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（2）启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边（3）为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利

4、用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生如何将向量关系转化成数量关系（4）由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题教学目标：1、掌握余弦定理及其证明方法；2、会运用余弦定理解三角形；能力目标： 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力，以及观察、分析、类比、计算能力；德育目标： 通过知识间的联系，体现事物的普遍联系与辩证统一；教学重难点： 余弦定理的推导、证明及应用；教法学法： 教师的“引导式教学”和学生的“研究性学习”相结合二、教学过程Ⅰ、设置情境   自动卸货汽车的车箱采用液压机构。

5、设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。 Ⅱ、提出问题师：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）能，在三角形ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的长。师：能用正弦定理求解吗？为什么？不能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。师：这个问题的实质是什么？在三

6、角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。III、解决问题师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？先从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化）可以先在直角三角形中试探一下。直角三角形中c2=a2+b2（勾股定理角C为直角）斜三角形ABC中（如图3），过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）师：垂足D一定在边BC上吗？不一定，当角C为钝角时，点D在BC的延长线上。（分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）在锐角三角形ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直

7、角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC,CD＝ACcosC即AD＝bsinC,CD＝bcosC又BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC∴c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2=b2sin2C+a2-2abcosC+b2cos2C=a2+b2-2abcosC同理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosB在钝角三角形ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π

8、-C），即