2017-2018版高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.2 极大值与极小值学案 苏教版选修2-2

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1、1．3.2　极大值与极小值学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一　函数的极值点和极值思考1　观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．　思考2　导数为0的点一定是极值点吗？　　1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝____，而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，就把________叫做函数y＝f(x)的极小值点，___

2、_____叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝____，而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，就把______叫做函数y＝f(x)的极大值点，______叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为________；极大值、极小值统称为______．知识点二　函数的极值的求法思考1　极大值一定比极小值大吗？　思考2　函数的极值与单调性有什么联系？11　一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0

3、，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是________．(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是________．类型一　求函数的极值点和极值例1　求下列函数的极值，并画出函数的草图．(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝.　　　　　　　　　　　11反思与感悟　(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则．(2)求可导函数f(x)的极值的步骤如下：①求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③观察f′(x)在方程根左右的值的符号，

4、如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值．注意：f′(x)无意义的点也要讨论，可先求出f′(x)＝0的根和f′(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断．跟踪训练1　(1)设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则________(填写正确的序号)．①f(x)极大值为f()，极小值为f(－)；②f(x)极大值为f(－)，极小值为f()；③f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)；④f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)．(2)函数f

5、(x)＝x3－4x＋4的极大值与极小值之和为________．类型二　已知函数极值求参数例2　(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．反思与感悟　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪训练2　(1)函数f(

6、x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与直线y＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.11①求a，b，c的值；②求函数的递减区间．　　　(2)已知函数f(x)＝，若函数在区间(a，a＋)(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．(3)已知函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax(a∈R)在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a的取值范围．　　　　　　　　　　11类型三　函数极值的综合应用例3　(1)函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋

7、3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．　　　反思与感悟　(1)解答本例(1)的关键是求出函数f(x)的极值，画出函数的图象，解答本例(2)的突破口是把两函数图象的交点问题转化为一个新函数的图象与x轴的交点问题．(2)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练3　若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范

8、围．　　　　　　　11　1．函数f(x)的定义域为R