专题20不等式选讲-2018年高考数学（理）备考易错点专项复习

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1、1．(2016·全国卷乙)已知函数f(x)＝x＋1－2x－3.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>1的解集．解析：(1)由题意得f(x)＝故y＝f(x)的图象如图所示．2．(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.证明：由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x＋1－x－

2、2.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解析：(1)f(x)＝当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{xx≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤x＋1－x－2－x2＋x.而x＋1－x－2－x2＋x≤x＋1＋x－2－x2＋x＝－2＋≤，且当x＝时，x＋1－x－2－x2＋x＝，故m的取值范围为.4．(2016·全国

3、卷甲)已知函数f(x)＝x－＋x＋，M为不等式f(x)<2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，a＋b<1＋ab.解析：(1)f(x)＝当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；当－

4、已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，a＋b<1＋ab.(2)证明由(1)知，当a，b∈M时，－10.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(

5、x)>1化为x＋1－2x－1－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．7．解不等式x＋3－2x－1<＋1.8．设a，b，c均为正实数，试证

6、明不等式＋＋≥＋＋，并说明等号成立的条件．解因为a，b，c均为正实数，所以≥≥，当且仅当a＝b时等号成立；≥≥，当且仅当b＝c时等号成立；≥≥，当且仅当a＝c时等号成立．三个不等式相加，得＋＋≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立．9．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)＝(x2－2x)

7、＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.易错起源1、含绝对值不等式的解法例1、已知函数f(x)＝x－a，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－x－4的解集；(2)已知关于x的不等式f(2x＋a)－2f(x)≤2的解集为{x1≤x≤2}，求a的值．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝由h(x)≤2，解得≤x≤.又已知h(x)≤2的解集为{x1≤x

8、≤2}，所以于是a＝3【变式探究】已知函数f(x)＝x－2－x－5.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．(1)证明f(x)＝x－2－x－5＝当2