有关不等式的一些问题

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1、有关不等式的一些问题摘要：本文主要介绍不等式的概念、性质及相关的解题思想与解题方法。关键词：等式著名的不等式数形结合思想转化思想我们可以把数量间的关系分为相等与不等，在现实生活中，不等关系比相等关系更广泛存在。奇怪的是人们对于广泛存在的不等关系的认识比相等关系来得迟。直到17世纪以后，不等式理论才逐渐发展起来，并成为数学基础理论的一个重要组成部分。不等式滲透到了各类数学知识中，我们形象的说＂不等式是具有严谨结构的沟通了各类数学知识的桥梁＂。1不等式的概念及性质1.1不等式的概念“用不等号连接的式子叫做不等式”

2、，这是中学教材对不等式的定义。不等式是用数学符号连接的代数式，是属于数学定义中的符号定义，类似的还有“用等号连结的式子叫做等式。”引出了对应的等式的定义。数学名词的定义方式有很多种，要求每一个名词的定义都清晰准确。不等号是指表示数字的大小的符号“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”，其中又分为严格不等号“＞”“＜”；非严格不等号“≥”“≤”；只区分不等关系，不区分大小的不等号“≠”。我们必须明确不等式是在定义了大小关系的有序数集上研究的。不等式的两种分类方法从不等式的解集分类：不等式的定义域中的一切值组都使之成立称

3、之为绝对不等式。集合可表为全集.如果不等式定义域中的一切值组都不能使不等式成立称之为矛盾不等式。集合则可用空集。如果不等式中的有些值组使之成立，而另些值组不能使之成立称之为条件不等式。以不等式两边的解析式来分类:可分为代数不等式和初等超越不等式,其中代数不等式又可分为整式不等式、分式不等式和无理不等式;初等超越不等式包括了指数不等式，对数不等式，三角不等式和反三角不等式。这种分法类似函数的分法,函数可分为指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数；代数式可分为整式、分式、无理式。显然，不等式来自初等数学，是初等

4、数学从不同角度的再次整合，是整合后自成一个系统的完整的初等数学的组成部分。当然不等式理论不仅仅包含了单独一个不等式，还包含不等式组，例如n元n次不等式或n元n次不等式组。不等式研究的范围和方程研究的范围一样，从一元一次到一元多次，再到多元多次，其研究的方式一样，从这我们可以发现数学的研究方向。1．2不等式的性质我们知道性质可以由公理得到，公理是人们已经承认的，不加证明的事实。对应的公理可以得到相应的性质。等量可代换而不等的量一般不可代换,但不等式可用传递推理，也就是用放大或缩小的方法推理。由不等量公理知,不等

5、式具有对逆性、传递性、加法单调性、乘法单调性。不等式的性质：（1）（同向不等式相加）（2）（异向不等式相减）（3）（同向不等式相乘）（4）（异向不等式相除）13（5）（倒数关系）　　　　　　　　（6）（乘方法则）（7）（开方法则）不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。2几种重要的不等式柯西不等式（Cauchy）（出自［2］）定理1设，（i=1，2，3…n），则有不等式成立，当且仅当时等号成立。均值不等式从我们初高中接

6、触过当且仅当等号成立,（a、b同号，当且仅当a=b成立）,（a、b，当且仅当a=b成立）若,则例1设…都是正数,求证证：，……,将上面各式相加,即得所要证的不等式本题运用了均值不等式。还可用柯西不等式,数学归纳法等多种方法证明。例2已知a、b、c、d>0，求证证：=由平均值不等式即13同理：所以（1）右边本题还是运用均值不等式，是均值不等式的变形。常用的平均值除了这几个正数的几何平均值和算术平均值外。还有另外两种，定义如下：n个正数的倒数的算术平均数的倒数叫做这个正数的调和平均值，用表示。n个正数的K次幂的算

7、术平均值的k次算术根叫做这n个正数的K次幂平均值，用表示。即定理2：（出自［2］）　即若，则，当且仅当时取等号。定理3：（出自［2］）即若，则，当且仅当时取等号。定理4：（出自［2］）即若，则，当且仅当时取等号。在这部分的不等式，不仅包含了初等数学，也涉及了高等数学的内容。重要的不等式不是只有这几个,还有有关凸函数、凸函数性质的琴森不等式（Jensen）（出自［2］）、三角形不等式（出自［2］），契贝谢夫不等式（出自［2］）等例3证明：若是三角形的三边，，则（）证：设则因此由契贝谢夫不等式可推出13（1）所以

8、由（1）得：不同函数具有的性质不同，但是同一类函数的不等式有相似的性质。3不等式的解题思想解不等式的过程实质际上就是用同解不等式逐步代换原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式的关键。解初等不等式的基本思路是将不等式代数化、整式化、有理数化、低次化。我们知道数学思想方法是多种多样的，这里主要介绍典型的数形结合思想和分类思想。含有未知数的等式就是方程，我们把6>4这个不等式引入未知数，能得到6x