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时间:2018-08-10
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1、初一(思维)M07S18数论专题第一篇质数与合数一个大于1的正整数,若除了1与它自身,再没有其它的约数,这样的正整数叫做质数;一个大于1的正整数,除了1与它自身,若还有其它的约数,这样的正整数称为合数。质数具有许多重要的性质:(1)1不是质数,也不是合数;2是唯一的偶质数 (2)若质数p|ab,则必有p|a或p|b(3)若正整数a,b的积是质数p则a=p或b=p(4)质数有无穷多个【典型例题】例1设都是质数,并且,求.例2设是质数,并且也是质数.求证:是合数. 例3若a、b都是质数,且=2007,求的值;【随堂练习】1.以下4种关于质数与合数的说法中,准确的说
2、法共有()种:(1)两个质数的和必为合数,(2)两个合数的和必为合数,(3)一个质数与一个合数的和必为合数(4)一个质数与一个合数的和必为非合数A3B2C1D02.一个两位质数,将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数,我们称它为“无暇质数”,则所有无暇质数之和等于多少?5初一(思维)M07S183、已知2001是两个质数的和,求这两个质数的乘积.4.设n是大于1的正整数,求证:n4+4是合数.5.求出所有的质数p,使p+2,p+6,p+8,p+14都是质数第二篇奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”,也就是奇数和偶数,即±1,±3,±5,…是奇数,0,
3、±2,±4,±6,…是偶数. 用整除的术语来说就是:能被2整除的整数是偶数,不能被2整除的整数是奇数.通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式,(其中k为整数);偶数可以表示为2k的形式,(其中k是整数). 奇数和偶数有以下基本性质: 性质1奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数. 性质2奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数,奇数×偶数=偶数. 性质3奇数个奇数之和是奇数;偶数个奇数之和是偶数;任意有限个偶数之和为偶数. 性质4若干个奇数的乘积是奇数,偶数与整数的乘积是偶数. 性质5如果若干个整数的乘积是奇数,那么其中每一个因子都是
4、奇数;如果若干个整数的乘积是偶数,那么其中至少有一个因子是偶数. 性质6如果两个整数的和(或差)是偶数,那么这两个整数的奇偶性相同;如果两个整数的和(或差)是奇数,那么这两个整数一定是一奇一偶. 性质7两个整数的和与差的奇偶性相同.【典型例题】例1在1,2,3,…,1998中的每一个数的前面,任意添上一个“”或“-”那么最后运算的结果是奇数还是偶数?5初一(思维)M07S18例2设1,2,3,…,9的任一排列为a1,a2,…,a9.求证:(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数例3某次数学竞赛,共有40道选择题,规定答对一题得5分,不答得1分,答错倒扣1
5、分.证明:不论有多少人参赛,全体学生的得分总和一定是偶数.【随堂练习】1.15质杯子,杯口朝上,将其中的6只同时翻转称一次运动。问能否经过若干次的运动,使15只杯子的口朝下?2.是否存在这样的自然数,满足关系式?3.已知a,b,c是整数,a+b+c是奇数,判断a+b-c,a-b+c,-a+b+c的奇偶性,说明理由第三篇整除一、整除的定义:当两个整数a和b(b≠5初一(思维)M07S180),a被b除的余数为零时(商为整数),则称a被b整除或b整除a,也把a叫做b的倍数,b叫a的约数,记作b
6、a,如果a被b除所得的余数不为零,则称a不能被b整除,或b不整除a,记作b
7、︱a.二、数的整除性常见特征:1.被2整除的数:个位数字是偶数2.被3整除的数:数字和被3整除3.被4整除的数:末两位组成的数被4整除;被25整除的数,末两位组成的数被25整除4.被5整除的数:个位数字是0或55.被6整除的数:能同时被2和3整除6.被7整除的数:末三位组成的数减去前面的数的差能被7整除7.被8整除的数:末三位组成的数被8整除;被125整除的数,末三位组成的数被125整除8.被9整除的数:数字和被9整除9.被11整除的数:奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除或末三位组成的数减去前面的数的差能被11整除【典型例题】例1求一个首位数字为5的最小六位
8、数,使这个数能被9整除,且各位数字均不相同。例2在568后面补上三个数字,组成一个六位数,使它分别被3,4,5整除,且使这个数尽可能的小。例3某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除,那么它的最后三个数字依次是多少。5初一(思维)M07S18【随堂练习】1.能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最小四位数是_______.2.由1,2,3,4,5这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被3整除的数共有几个?为什么?3.有一个三位数,如果把这个数减去7,它就能被7整除;如果把这个数减去8,它就能被8整除;如
9、果把这个数
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