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1、数列单元复习(老师用)1.已知数列1,,,,,,,,,,…,则是此数列中的( )A.第48项B.第49项C.第50项D.第51项答案:C解析:将数列分为第1组1个,第2组2个,…,第n组n个,(),(,),(,,),…,(,,…,),则第n组中每个数分子分母的和为n+1,则为第10组中的第5个,其项数为(1+2+3+…+9)+5=50.2.已知an=(n∈N*),则在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是( )A.a1,a50B.a1,a44C.a45,a50D.a44,a45答案:D解析:an===1+,∵-为一定值,要使
2、an最大,则需n-最小且n->0,则n=45;同理当n-<0时,则n=44时为最小值.3.如果数列{an}满足a1=2,a2=1,且=,则a2009=( )A. B. C. D.1005答案:B解析:由=可得,=+,数列{}(n=2,3,4,…)为等差数列,首项为,公差为,∴=+2008×=,∴a2009=.4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数,下列数
3、中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289 B.1024 C.1225 D.1378答案:C解析:根据图形的规律可知第n个三角形数为an=,第n个正方形数为bn=n2,因此可排除D(1378不是平方数).将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知,符合题意的是C选项,故选C.5.图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运吉祥物“福建迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(n)个“福建迎迎”,则f(5)=__________;f(n)-f(n-1)=_______
4、_.(答案用数字或n的解析式表示)答案:41 4n-4解析:由图易知f(1)=1,f(2)=2(1+3)-3,f(3)=2×(1+3+5)-5,f(4)=2(1+3+5+7)-7,…,f(n)=2×[1+3+5+7+…+(2n-1)]-(2n-1),即f(n)=2n2-2n+1,∴f(5)=2×52-2×5+1=41,f(n)-f(n-1)=2n2-2n+1-[2(n-1)2-2(n-1)+1]=4n-4.6.根据下列条件,求数列的通项公式an.(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n;(2)在数列{an}中,an+1=
5、an,a1=4;(3)在数列{an}中,a1=3,an+1=2an-1;(4)在数列{an}中,an+1=3a,a1=3.解析:(1)由an+1-an=2n,把n=1,2,3…,n-1(n≥2)代入,得(n-1)个式子,累加即可得(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+22+23+…+2n-1,所以an-a1=,即an-a1=2n-2,所以an=2n-2+a1=2n-1.当n=1时,a1=1也符合,所以an=2n-1(n∈N*).(2)由递推关系an+1=an,a1=4,有=,于是有=3,=,=,…,=,=,将这(
6、n-1)个式子累乘,得=.所以当n≥2时,an=a1=2n(n+1).当n=1时,a1=4符合上式,所以an=2n(n+1)(n∈N*).(3)由an+1=2an-1得an+1-1=2(an-1),令bn=an-1,则{bn}是以2为公比的等比数列.所以bn=b1·2n-1=(a1-1)·2n-1=2n,所以an=bn+1=2n+1(n∈N*).(4)由已知,an>0,在递推关系式两边取对数,有lgan+1=2lgan+lg3.令bn=lgan,则bn+1=2bn+lg3.所以bn+1+lg3=2(bn+lg3),所以{bn+lg3}
7、是以b1+lg3为首项,以2为公比的等比数列.所以bn+lg3=2n-1·2lg3=2nlg3.所以bn=2nlg3-lg3=(2n-1)lg3=lgan.所以an=7.设数列{an}的前n项的和Sn=an-×2n+1+,n=1,2,3,….求首项a1与通项公式an.解析:由Sn=an-×2n+1+,n=1,2,3,……,①得:a1=S1=a1-×4+,所以a1=2.再由①有Sn-1=an-1-×2n+,n=2,3,……②①-②得:an=Sn-Sn-1=(an-an-1)-×(2n+1-2n),n=2,3,……,整理得:an=4an-
8、1+2n,n=2,3,……an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,4,……(或:+1=2(+1))所以an+2n=4×4n-1(或:+1=2×2n-1)得:an=4n-2n,n=1,2,……8.数列{an}中,