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1、数列单元复习（老师用）1．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是此数列中的( )A．第48项B．第49项C．第50项D．第51项答案：C解析：将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第n组n个，()，(，)，(，，)，…，(，，…，)，则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.2．已知an＝(n∈N*)，则在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是( )A．a1，a50B．a1，a44C．a45，a50D．a44，a45答案：D解析：an＝＝＝1＋，∵－为一定值，要使
2、an最大，则需n－最小且n－>0，则n＝45；同理当n－<0时，则n＝44时为最小值．3．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝，则a2009＝( )A. B. C. D．1005答案：B解析：由＝可得，＝＋，数列{}(n＝2,3,4，…)为等差数列，首项为，公差为，∴＝＋2008×＝，∴a2009＝.4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，下列数
3、中既是三角形数又是正方形数的是( )A．289 B．1024 C．1225 D．1378答案：C解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an＝，第n个正方形数为bn＝n2，因此可排除D(1378不是平方数)．将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项，故选C.5．图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运吉祥物“福建迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福建迎迎”，则f(5)＝__________；f(n)－f(n－1)＝_______
4、_.(答案用数字或n的解析式表示)答案：41 4n－4解析：由图易知f(1)＝1，f(2)＝2(1＋3)－3，f(3)＝2×(1＋3＋5)－5，f(4)＝2(1＋3＋5＋7)－7，…，f(n)＝2×[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]－(2n－1)，即f(n)＝2n2－2n＋1，∴f(5)＝2×52－2×5＋1＝41，f(n)－f(n－1)＝2n2－2n＋1－[2(n－1)2－2(n－1)＋1]＝4n－4.6．根据下列条件，求数列的通项公式an.(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)在数列{an}中，an＋1＝
5、an，a1＝4；(3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an－1；(4)在数列{an}中，an＋1＝3a，a1＝3.解析：(1)由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子，累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝，即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1也符合，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由递推关系an＋1＝an，a1＝4，有＝，于是有＝3，＝，＝，…，＝，＝，将这(
6、n－1)个式子累乘，得＝.所以当n≥2时，an＝a1＝2n(n＋1)．当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)．(3)由an＋1＝2an－1得an＋1－1＝2(an－1)，令bn＝an－1，则{bn}是以2为公比的等比数列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1－1)·2n－1＝2n，所以an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)．(4)由已知，an>0，在递推关系式两边取对数，有lgan＋1＝2lgan＋lg3.令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋lg3.所以bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，所以{bn＋lg3}
7、是以b1＋lg3为首项，以2为公比的等比数列．所以bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3.所以bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan.所以an＝7．设数列{an}的前n项的和Sn＝an－×2n＋1＋，n＝1,2,3，….求首项a1与通项公式an.解析：由Sn＝an－×2n＋1＋，n＝1,2,3，……，①得：a1＝S1＝a1－×4＋，所以a1＝2.再由①有Sn－1＝an－1－×2n＋，n＝2,3，……②①－②得：an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)－×(2n＋1－2n)，n＝2,3，……，整理得：an＝4an－
8、1＋2n，n＝2,3，……an＋2n＝4(an－1＋2n－1)，n＝2,3,4，……(或：＋1＝2(＋1))所以an＋2n＝4×4n－1(或：＋1＝2×2n－1)得：an＝4n－2n，n＝1,2，……8．数列{an}中，
