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《2012届高三数学第二轮复习空间角与距离》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、空间角与距离★★★高考考什么【考点透视】异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.【热点透析】1．转化思想：①②将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形2．求角的三个步骤：一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证3．二面角的平面角的主要作法：①定义②三垂线定义③垂面法距离【考点透视】判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。【热点透析】转化思想：①；②异面直线间的距离转化为平行线面之间的距
2、离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：①体积法；②直接法,找出点在平面内的射影★★★高考将考什么【范例1】（07北京•理•16题）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（III）求与平面所成角的最大值．解法一：（I）由题意，，，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．异面直线与所成角
3、的大小为．（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．解法二：（I）同解法一．（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．异面直线与所成角的大小为．（III）同解法一【范例2】（07福建•理•18题）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解答：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角
4、形，．正三棱柱中，平面平面，ABCDOF平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．在正方形中，，平面．（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，．所以二面角的大小为．（Ⅲ）中，，．在正三棱柱中，到平面的距离为．设点到平面的距离为．由得，．点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，xzABCDOFy，，．，，，．平面．（Ⅱ）设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面
5、，为平面的法向量．，．二面角的大小为．【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。【变式】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。（1）求证：AB平面BCD（2）求异面直线BC与AD所成的角。解：(1)在梯形ABCD中,,AD=2，，又平面ACD，故又，且平面BCD（2）因为BA=BC，，为AC中点，取CD中点E，AB中点F，连结OE、OF、EF，则OE//AD，OF
6、//BC，所以AD与BC所成的角为或其补角.作FH//BO交AC于H，连结HE,则FH平面ACD在三角形EOF中，又，EO=1由余弦定理知故异面直线BC与AD所成的角为60【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。【范例3】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点.（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小解：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA
7、、AB,PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A,过A作AO⊥PF于O，连结OD,则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。得，故面PDE与面PAD所成二面角的大小为（2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB,PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A,同时BC⊥平面BPA于B,∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影,设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ,cosθ=S△PAB/S△PCD=/2θ=450，即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。 解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，则PQ⊥PA
8、、PD，于
