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1、第1章常用逻辑用语1.1命题及其关系一、填空题1.“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的________条件.2.用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件”填空.(1)“a+b<0且ab>0”是“a<0且b<0”的________;(2)“x>1”是“<1”的________;(3)“(x-2)(x+1)≥0”是“≥0”的________;(4)“x=2”是“x2-7x+10=0”的________.3.设集合M={x
2、03、04、是t的________条件.二、解答题5.已知A={x5、x满足条件p},B={x6、x满足条件q}.(1)如果A⊆B,那么p是q的什么条件?(2)如果B⊆A,那么p是q的什么条件?(3)如果A=B,那么p是q的什么条件?6.证明:一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.参考答案1.解析:当x=2时,必有(x-2)(x-3)=0,即“x=2⇒(x-2)(x-3)=0”;但命题“若(x-2)(x-3)=0,则x=2”显然不是真命题,即“(x-2)(x-3)=0⇒/x=2”.实际上,(x-2)(x-3)=0⇔x=2或x=3.答案:必要不充分2.解析:(1)∵a+b<0且a7、b>0.∴a、b同号且都是负数.即a+b<0且ab>0⇒a<0且b<0.又∵a<0且b<0,∴a+b<0,ab>0.即a<0且b<0⇒a+b<0且ab>0.∴“a+b<0且ab>0”是“a<0且b<0”的充要条件.(2)∵x>1时,<1成立,即x>1⇒<1,又∵<1时,x未必大于1(如x=-3),即<1x>1,∴“x>1”是“<1”的充分不必要条件.(3)∵(x-2)(x+1)≥0,∴x≥2或x≤-1.∵≥0,∴x≥2或x<-1,∴(x-2)(x+1)≥0≥0.而≥0⇒(x-2)(x+1)≥0,∴“(x-2)(x+1)≥0”是“≥0”的必要不充分条件.(4)∵当x=2时,x2-7x+108、=4-14+10=0,∴x=2⇒x2-7x+10=0.当x2-7x+10=0时,则x1=2,x2=5.∴x2-7x+10=0x=2.∴“x=2”是“x2-7x+10=0”的充分不必要条件.答案:(1)充要条件(2)充分不必要条件(3)必要不充分条件(4)充分不必要条件3.解析:由集合M={x9、010、011、.∴p是q的充分条件.(2)B⊆A,说明,x∈B⇒x∈A,即q⇒p.∴p是q的必要条件.(3)A=B,说明,x∈A⇔x∈B,即p⇔q.∴p是q的充要条件.6.证明:(1)必要性:∵f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即k(-x)+b=-(kx+b).∴b=0.(2)充分性:如果b=0,那么f(x)=kx,此时f(x)为奇函数.∴一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.
3、04、是t的________条件.二、解答题5.已知A={x5、x满足条件p},B={x6、x满足条件q}.(1)如果A⊆B,那么p是q的什么条件?(2)如果B⊆A,那么p是q的什么条件?(3)如果A=B,那么p是q的什么条件?6.证明:一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.参考答案1.解析:当x=2时,必有(x-2)(x-3)=0,即“x=2⇒(x-2)(x-3)=0”;但命题“若(x-2)(x-3)=0,则x=2”显然不是真命题,即“(x-2)(x-3)=0⇒/x=2”.实际上,(x-2)(x-3)=0⇔x=2或x=3.答案:必要不充分2.解析:(1)∵a+b<0且a7、b>0.∴a、b同号且都是负数.即a+b<0且ab>0⇒a<0且b<0.又∵a<0且b<0,∴a+b<0,ab>0.即a<0且b<0⇒a+b<0且ab>0.∴“a+b<0且ab>0”是“a<0且b<0”的充要条件.(2)∵x>1时,<1成立,即x>1⇒<1,又∵<1时,x未必大于1(如x=-3),即<1x>1,∴“x>1”是“<1”的充分不必要条件.(3)∵(x-2)(x+1)≥0,∴x≥2或x≤-1.∵≥0,∴x≥2或x<-1,∴(x-2)(x+1)≥0≥0.而≥0⇒(x-2)(x+1)≥0,∴“(x-2)(x+1)≥0”是“≥0”的必要不充分条件.(4)∵当x=2时,x2-7x+108、=4-14+10=0,∴x=2⇒x2-7x+10=0.当x2-7x+10=0时,则x1=2,x2=5.∴x2-7x+10=0x=2.∴“x=2”是“x2-7x+10=0”的充分不必要条件.答案:(1)充要条件(2)充分不必要条件(3)必要不充分条件(4)充分不必要条件3.解析:由集合M={x9、010、011、.∴p是q的充分条件.(2)B⊆A,说明,x∈B⇒x∈A,即q⇒p.∴p是q的必要条件.(3)A=B,说明,x∈A⇔x∈B,即p⇔q.∴p是q的充要条件.6.证明:(1)必要性:∵f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即k(-x)+b=-(kx+b).∴b=0.(2)充分性:如果b=0,那么f(x)=kx,此时f(x)为奇函数.∴一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.
4、是t的________条件.二、解答题5.已知A={x
5、x满足条件p},B={x
6、x满足条件q}.(1)如果A⊆B,那么p是q的什么条件?(2)如果B⊆A,那么p是q的什么条件?(3)如果A=B,那么p是q的什么条件?6.证明:一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.参考答案1.解析:当x=2时,必有(x-2)(x-3)=0,即“x=2⇒(x-2)(x-3)=0”;但命题“若(x-2)(x-3)=0,则x=2”显然不是真命题,即“(x-2)(x-3)=0⇒/x=2”.实际上,(x-2)(x-3)=0⇔x=2或x=3.答案:必要不充分2.解析:(1)∵a+b<0且a
7、b>0.∴a、b同号且都是负数.即a+b<0且ab>0⇒a<0且b<0.又∵a<0且b<0,∴a+b<0,ab>0.即a<0且b<0⇒a+b<0且ab>0.∴“a+b<0且ab>0”是“a<0且b<0”的充要条件.(2)∵x>1时,<1成立,即x>1⇒<1,又∵<1时,x未必大于1(如x=-3),即<1x>1,∴“x>1”是“<1”的充分不必要条件.(3)∵(x-2)(x+1)≥0,∴x≥2或x≤-1.∵≥0,∴x≥2或x<-1,∴(x-2)(x+1)≥0≥0.而≥0⇒(x-2)(x+1)≥0,∴“(x-2)(x+1)≥0”是“≥0”的必要不充分条件.(4)∵当x=2时,x2-7x+10
8、=4-14+10=0,∴x=2⇒x2-7x+10=0.当x2-7x+10=0时,则x1=2,x2=5.∴x2-7x+10=0x=2.∴“x=2”是“x2-7x+10=0”的充分不必要条件.答案:(1)充要条件(2)充分不必要条件(3)必要不充分条件(4)充分不必要条件3.解析:由集合M={x
9、010、011、.∴p是q的充分条件.(2)B⊆A,说明,x∈B⇒x∈A,即q⇒p.∴p是q的必要条件.(3)A=B,说明,x∈A⇔x∈B,即p⇔q.∴p是q的充要条件.6.证明:(1)必要性:∵f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即k(-x)+b=-(kx+b).∴b=0.(2)充分性:如果b=0,那么f(x)=kx,此时f(x)为奇函数.∴一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.
10、011、.∴p是q的充分条件.(2)B⊆A,说明,x∈B⇒x∈A,即q⇒p.∴p是q的必要条件.(3)A=B,说明,x∈A⇔x∈B,即p⇔q.∴p是q的充要条件.6.证明:(1)必要性:∵f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即k(-x)+b=-(kx+b).∴b=0.(2)充分性:如果b=0,那么f(x)=kx,此时f(x)为奇函数.∴一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.
11、.∴p是q的充分条件.(2)B⊆A,说明,x∈B⇒x∈A,即q⇒p.∴p是q的必要条件.(3)A=B,说明,x∈A⇔x∈B,即p⇔q.∴p是q的充要条件.6.证明:(1)必要性:∵f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即k(-x)+b=-(kx+b).∴b=0.(2)充分性:如果b=0,那么f(x)=kx,此时f(x)为奇函数.∴一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.
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