a题 泄洪设施修建计划

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1、泄洪设施修建计划位于我国南方的某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害。以往下雨时，完全是依靠天然河流进行泄洪。2010年入夏以来，由于史无前例的连日大雨侵袭，加上这些天然河流泄洪不畅，造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。从两方面考虑，一是在各村开挖一些排洪沟,以满足近两三年的短期防汛需要；二是从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。经测算，修建新泄洪河道的费用为（万元），其中表示泄洪河道的可泄洪量（万

2、立方米/小时），表示泄洪河道的长度（公里）。请你们通过数学建模方法，解决以下问题：问题1：该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。在表1中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字。水利专家经过勘察，在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。由于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同，详见表2，而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年10%左右的速率减少。同时开始修建一段20公里长的新泄洪河道。修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资修建的费用为万元

3、的整数倍。要求完成之后，通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。乡政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开支尽量节省（不考虑利息的因素在内）。表1现有四条天然河道在近几年的可泄洪量（万立方米/小时）年份编号20012002200320042005

4、20062007200820091号32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号46.232.626.723.020.018.917.516.3表2开挖各条排洪沟费用（万元）和预计当年可泄洪量（万立方米/小时）编号12345678开挖费用57546553当年泄洪量2536321531282212问题2：该乡共有10个村,分别标记为①—⑩，下图给出了它们大致

5、的相对地理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩其中村⑧距离主干河流最近，且海拔高度最低。乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村⑧后，再经村⑧引出到主干河流。要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。表3各村之间修建新泄洪河道的距离（单位：公里）234567891012345678985912141216172291517811181422791171212173171071518810615159148168

6、611111110请你们根据表3中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。（说明：从村A→村B的新泄洪河道，一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。）问题3：新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？问题4：你们是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？首先对于该乡中情

7、形类似于第一问中村的点可以修建泄洪河道的同时疏通自然河道，通过问题一的求解过程我们发现2号和4号河道起初泄洪流量降低很快，那是因为水量大，携带的淤泥多，这样河道变窄的速度快，流量下降快，而后几年，河道变窄速率降低，流量下降速度也减慢，所以可以定时疏通河道的淤泥，加大天然河道的泄洪流量，对于新建河道也需要进行同样维护。对于整个乡，我们可以考虑在整个乡中修建一条大的泄洪河道，同时以支流的形式连接各个村因为可以发现河道的修建费不是与河道的泄洪量正比，而是指数关系，这样同一段距离，合流比分流的修建花费少，因此我们要尽量减少支流的长度

8、，即可以引一条大的泄洪河道贯穿整个乡，在河道每处的流量都能承载其上游支流河道的流量。这样可以减少修建花费说明：1、以上问题必须建立一般的数学模型，不能仅按照题目中提供的数据计算一个结果。2、建模过程中，可自行提出合理的模型假设。