第14届华杯赛决赛试题a卷试题及详解

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1、第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）一、填空题（每小题10分，共80分）第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分1计算：=答案：2第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分2、如图1所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点。在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有个。图1答案：64第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分3将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924…”。删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最

2、后剩下的数字是答案：3第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分4如图2所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线l将原图形分为面积相等的两部分。l与AB的交点为E，与CD的交点为F。若线段CF与线段AE的长度之和为91厘米，那么小正方形的边长是厘米。图2答案：26第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分5某班学生要栽一批树苗。若每个人分配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有名学生。答案；41第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分6已知三个合数A,B,C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为答案

3、：1626第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分7方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号代表相同的数，如图3所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别是36，50，41，37，则第三行的四个数的和为图3答案：33（第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第8题）已知1+2+3+⋯+n（n>2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是【分析】37二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第二大题1六个分数，，，，，的和在哪两个连续自然数之间？1．答案：在1和2之间。

4、解答：。因为＜＜2，又因为＞＞1，所以六个分数，，，，，的和在1和2之间。第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第二大题2.2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？2．答案：10月份的第一天是星期四，3、5、8、11月有五个星期日。解答：下表列出各个月的1号的相关信息：月份234567891011121号距1月1号的天数315990120151181212243273304334除以7的余数336146250351号的星期数日日三五一三六二四日二10月1号与1月1号相距273天，273是7的倍数，所以，10月份的第一天

5、也是星期四。3月1号是星期日，3月份有31天，所以3月有5个星期日；5月3号是星期日，5月份有31天，所以5月有5个星期日；8月3号是星期日，8月份有31天，所以8月有5个星期日；11月1号是星期日，11月份有30天，所以11月有5个星期日。第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第二大题3已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。求b与c的最小公倍数。解析：首先注意到，60可以分解为，270可以分解为，[a,b]=60，我们根据质因子最多相乘法，假设，b不是的倍数，那a一定是的倍数，那么这样一来[a,c]一定含有这个因子，所以出现了

6、矛盾。这样我们得到b是的倍数。同理，同学们可以自己分析得到c是的倍数。到这儿为止，我们发现[b,c]中一定含有这个因子。若a中不含5这个因子，b,c都含5这个因子，在这种情况下，最小公倍数为=540；若a中含5这个因子，b,c可以含也可以不含5这个因子，在这种情况下，最小公倍数为=-540或者=108。（2009年第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第12题）在51个连续的奇数1，3，5，⋯，101中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？【分析】显然，选的数越小，可以使选出的数的个数越多。首先考虑从45个连续的奇数1，3，5，7，…，99中选出n个数，使它们的和

7、不超过1949。由得≤1949。因为＞1949，且45个奇数的和不小于＞1949，所以≤44。若选取44个奇数，因为偶数个奇数的和为偶数，而1949为奇数，所以不可能选取44个奇数，使得它们的和为1949。所以n≤43。因为＜1949，2025－1949＝76，且76是偶数，所以至少从1，3，5，…，89中删除两个奇数，并使它们的和为76。如，去掉1，3，5，…，89中的两个奇数37和39，即选1，3，…，35，41，…，87，89。易验证。所以n的最大值为43。三、