含绝对值的不等式解法·例题剖析 [其它](1)

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1、不等式的证明(8课时)　　　　一.要点：　　证明不等式的几种常用方法：比较法、利用基本不等式证明、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.　　*.要求：掌握证明不等式的几种常用方法，并能运用这些方法解决一些问题.　　二.例题：　　比较法的依据：a>bÛa－b>0,a1且b>0Þa>b,a/b<1且b>0Þa.　　证明：－==>0∴>.　　*.2001年高考题中证明niPim

2、an+1+bn+1)(nÎN)　　证明：不妨设a>b则(a+b)(an+bn)－2(an+1+bn+1)=－(a－b)(an－bn)<0∴(a+b)(an+bn)<2(an+1+bn+1).　　例3xÎR，求证：3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.　　证明：3(1+x2+x4)－(1+x+x2)2=3(1+x+x2)(1－x+x2)－(1+x+x2)2=2(1+x+x2)(x－1)2=2[(x+1/2)2+3/4](x－1)2>0∴3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.　　例4a,bÎR+，且a+b=1，求证：ax2+

3、by2>(ax+by)2.　　证明：ax2+by2－(ax+by)2=ax2(1－a)+by2(1－b)－2abxy=ab(x－y)2>0.　　例5a,b,cÎR+，求证：aabbcc>(abc).　　证明：不妨设a>b>c，则aabbcc/(abc)(a+b+c)/3=a(2a-b-c)/3b(2b-a-c)/3c(2c-a-b)/3>b(2a-b-c)/3b(2b-a-c)/3c(2c-a-b)/3=b(a+b-2c)/3c(2c-a-b)/3>c(a+b-2c)/3c(2c-a-b)/3=c0=1∵(abc)(a+b+c)

4、/3>0∴aabbcc>(abc).　　例6若00且a¹1，比较

5、loga(1－x)

6、与

7、loga(1+x)

8、的大小.　　解1.

9、loga(1－x)

10、－

11、loga(1+x)

12、=1/

13、lga

14、·[

15、lg(1－x)

16、－

17、lg(1+x)

18、]=－1/

19、lga

20、·lg(1－x2)>0∴

21、loga(1－x)

22、>

23、loga(1+x)

24、.　　解2.

25、loga(1－x)

26、/

27、loga(1+x)

28、=

29、log(1+x)(1－x)

30、=－log(1+x)(1－x)=－log(1+x)(1－x2)+1>1∴

31、loga(1－x)

32、>

33、loga(

34、1+x)

35、.　　不等式证明中常用的基本不等式：a2>0;a2+b2>2ab;a,bÎR+>;a3+b3+c3>3abc;a,b,cÎR+>.　　例7求证：a2+b2+c2+ab+bc+ca>0.　　证明：利用配方a2+b2+c2+ab+bc+ca=1/2[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]>0.　　例8证明：a4+b4+c4>abc(a+b+c).　　证：a4+b4>2a2b2,b4+c4>2b2c2,c4+a4>2c2a2,又a2b2+b2c2>2ab2c,b2c2+c2a2>2abc2,c2a2+a2b2>2a2bc

36、∴a4+b4+c4>a2bc+ab2c+abc2=abc(a+b+c).　　例9若a>b>0，试比较a,,,,,b的大小，并用不等号把它们连结起来.　　略解：a=Öa2=Ö(a2+a2)/2>Ö(a2+b2)/2;∵(a2+b2)/2>(a+b/2)2∴Ö(a2+b2)/2>(a+b)/2>Öab=2/2Öa-1b-1>2/(a-1+b-1);又2/(a-1+b-1)－b=b(a－b)/(a+b)>0∴a>>>>>b.　　例10已知a,b,cÎR+且a+b+c=1，求证：++>9.　　证一.1/a+1/b+1/c=(a+b+c)

37、/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c=3+a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b>9;　　证二.1/a+1/b+1/c=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>33Öabc·33Ö1/abc=9;　　证三.1/a+1/b+1/c>33Ö1/abc=3/3Öabc>3·3/(a+b+c)=9.　　例11已知a,b,cÎR+，求证：++>.　　证明：c/(a+b)+a/(b+c)+b/(c+a)=(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)－3=(a+b+c)[1/(b+c)+

38、1/(c+a)+1/(a+b)]－3=1/2·[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]－3>9/2－3=3/2.　　例12已知a,b,c,d都大于1，且loga(bcd)<9，求证：logba+logca+logd