巧设未知数，轻松列方程

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1、巧设未知数，轻松列方程高峰【专题名称】初中数学教与学【专题号】G352【复印期号】2011年02期【原文出处】《中学生语数外》(津)2010年11期第19～21页【关键词】EEUU    设元是列方程解应用题的一个重要的环节。有时巧妙的设元，可以帮我们巧妙地列出方程解题，那么应怎样设元呢？这里结合实例介绍几种方法，供同学们参考。    一、直接设未知数    这是一种求什么就设什么的设未知数的方法。这是最常用的设元法。    例1某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4

2、倍少8元。    (1)求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元。    (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打7.5折销售；超市B全场购物每满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？    分析：(1)设书包的单价为x元，则英语学习机的单价为(4x-8)元，利用“英语学习机和书包单价之和是452元”列出一元一次方程求解即可；    (2)分别计算在A、B两个超市购买英语学习机和书包各一件所需花费的现金并与400元比较，再比较在

3、A、B两个超市购买英语学习机和书包各一件所需花费的现金，来确定在哪家超市购买更省钱。    解：设书包的单价为x元，则英语学习机的单价为(4x-8)元。    根据题意，得4x-8+x=452，    解得x=92。    4x-8=4×92-8=360。    答：该同学看中的英语学习机单价为360元，书包单价为92元。    (2)在超市A购买英语学习机与书包各一件，需花费现金452×75%=339（元）；因为339＜400，所以可以选择在超市A购买。在超市B可先花费现金360元购买英语学习机，再利用得到的90元购物券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360

4、+2=362（元）；因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买。但是，由于362＞339，所以在超市A购买英语学习机与书包，更省钱。    二、间接设未知数    所设的量不是要求的，但更易找出符合题意的相等关系，这种把题中要求量以外的量设为未知元的方法，称之为“间接设元法”。有些应用题，直接设未知数列方程比较困难，或列出的方程比较复杂，可以考虑使用间接设未知数法。    例2　“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12%，玉米超产10%，该专业户去年实际生产小麦、玉米

5、各多少吨？    分析：要求该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨，而知道小麦、玉米超产百分率，直接设未知数时，列式比较困难，所以考虑设间接未知数。    解：设原计划生产小麦x吨，生产玉米(18-x)吨。    根据题意，得    12%x+10%(18-x)=20-18。    解得x=10，18-x=8。    10×(1+12%)=11.2（吨），8×(1+10%)=8.8（吨）。    答：该专业户去年实际生产小麦11.2吨，玉米8.8吨。    三、直接设未知并辅以参数    对于一些较复杂的问题，往往条件隐含、关系交错。这时不妨引入参数，在已知量和未知量

6、之间架起一座“桥梁”，以便理顺各个量之间的关系，列出方程。而所设的参数在解题过程中被消去，不影响问题的结果。这种方法叫做“参数法”，也叫“设而不求法”。    例3　甲从A地到B地需30分钟，乙从A地到B地需20分钟，若甲乙两人都从A地到B地，甲比乙早出发5分钟，问乙出发几分钟后追上甲？    分析：由于路程一定时，速度与时间成反比，于是“甲速：乙速=20∶30=2∶3”，这是此题的隐含条件，据此可增设辅助元甲速为2k米／分钟，乙速为3k米／分钟。相等关系为“甲走的路程＝乙走的路程”。    解：设乙出发x分钟后追上甲，又设甲速为2k米／分钟，乙速为3k米／分钟。得到

7、方程3kx=2k×(5+x)，因为k≠0，方程两边同时约去，得方程3x=2×(5+x)，解得x=10。    答：乙出发10分钟后追上甲。    四、间接设元并辅以参数    有些应用题在间接设元后，也需要引入适当的参数才比较容易列出方程。    例4　李明与王云分别从A、B两地相向而行，若两人同时出发，则经过80分钟两人相遇；若李明出发60分钟后王云再出发，则经过40分钟两人相遇，问李明与王云单独走完全程各需多少小时？        答：李明与王云单独走完全程各需120分钟和240分钟。    五、整体设元法    有些问题未知量太多，而已知关系又