3.2.2直线的两点式方程、截距式、一般式

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1、3.2.2直线的两点式方程、截距式、一般式方程(一)教学目标1．知识与技能（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3．情态与价值观（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。（二）教学重点、难点：1．重点：直线方程两点式。2．难点：两点式推导过程的理解。（三）教学内容1．两点式方程利用点斜式解答如下问题：已知两点P1(x1，x2)，P2(x1，x2)其中(x1≠x2

2、，y1≠y2).求通过这两点的直线方程.根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：y–y1=指出：当y1≠y2时，方程可写成概念：由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-pointform）.分析：（1）当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：x=x1；（2）当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：y=y1.（3）把两点式＝化成整式形式为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，可用于求过平面上任意两点的直线方程吗？可以2.截距式方程已知直线l与x轴的

3、交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程.直线方程：小结：（1）a,b的几何意义：截距（2）叫直线方程的截距式.3.一般式方程点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都可以化为关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0；与x轴或与y轴垂直的直线方程也可以写成上式，所以平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示.（2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示一条直线.定义：把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同为0)叫做直线的一般式方程，简称一

4、般式(generalform).4．直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？-6-不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.5．在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合；（5）x轴的方程（y=0）;（6）；y轴(x=0)例1.已知三角形的三个顶点A(–5,0),B(3,–3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程；求BC边上高所在直线的方程.解析：如

5、图，过B(3，–3)，C(0，2)的两点式方程为整理得5x+3y–6=0.这就是BC所在直线的方程.BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为()，即().过A(–5，0)，M()的直线的方程为，整理得，即x+13y+5=0.这就是BC边上中线所在直线方程.小结：点A(x1，y1)、B(x2，y2)，线段AB的中点P的坐标为例2.（1）求经过点A(–3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.解析：当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为.将A(–3，4)代入上式，有，解得a=–7.∴所求直线方程为x–y+7

6、=0.当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y=kx.将A(–3，4)代入方程得4=–3k，即k=.∴所求直线的方程为x，即4x+3y=0.故所求直线l的方程为x–y+7=0或4x+3y=0.评析：此题运用了直线方程的截距式，在用截距时，必须注意适用条件：a、b存在且都不为零，否则容易漏解.（2）求过点P(－3,4)且在两坐标轴上的截距之和为12的直线的方程．[解析]　设直线方程为＋＝1，则解方程组得或故所求直线方程为＋＝1或＋＝1即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.-6-例3.如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规

7、定，则需要购买行李票，行李票费y（元）与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示，试求：（1）直线AB的方程；（2）旅客最多可免费携带多少行李？解析：（1）由图知，A(60，6)，B(80，10)代入两点式可得AB方程为x–5y–30=0（2）由题意令y=0，得x=30即旅客最多可免费携带30kg行李.例4.已知直线经过点A(6,–4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式.例5

8、.把直线l的一般式方程x–2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与