二阶微分方程解的存在唯一性定理毕业论文

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1、二阶微分方程解的存在唯一性定理摘要本文通过利用李普希兹条件证明一阶微分方程解的存在唯一性定理，从而证明二阶微分方程解的存在唯一性定理成立的条件也是李普希兹条件。一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理既是微分方程的理论基础，也是常微分方程得以广泛应用的基石。一阶微分方程解的存在唯一性定理中唯一性的证明，采用的是Picard的逐步逼近法，通过对一阶微分方程定理的证明，逐步延伸到二阶或者多阶，并应用的广泛的领域。微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展。可以预测，随着以来数学为基础的其他学

2、科的发展，微分方程还会继续扩展。关键词：常微分方程；李普希兹条件；解的存在唯一性定理44二阶微分方程解的存在唯一性定理AbstractInthisstudy,weshouldprovefirst-orderdifferentialequationsthroughtheLipschitzconditionoftheexistenceanduniquenesstheorem,thenweprovethatthesecond-orderdifferentialequationsexistenceanduniquenesstheoremis

3、alsosatisfiedLipschitzconditions.Existenceanduniquenesstheoremisthetheoreticalbasisoffirst-orderdifferential,andisalsothebasisoftheapplicationofdifferentialequationsandordinarydifferentialequations.WeusethePicardmethodofsuccessiveapproximationtocompletetheproofofthefir

4、st-orderdifferentialequations,andthenwecanalsoextendittothesecond-orderormulti-order,andapplyittootherareas.Differentialequationisveryusefulandveryattractive,anddifferentialequationswillhaveagreatersocialdevelopmentandneeds.Inthefuture,withthedevelopmentofotherdiscipli

5、nes,mathematicisusedasthebasisofotherfields,andthedifferentialequationwillcontinuetoexpand.Keywords:ordinarydifferentialequations;Lipschitzcondition;Solutionsfortheexistenceanduniquenesstheorem44二阶微分方程解的存在唯一性定理目录摘要IAbstractII目录III第一章绪论1第二章一阶微分方程解的存在唯一性定理32.1定理描述32.2证明步

6、骤32.2.1逐次逼近法证明步骤32.2.2定理证明过程的命题化42.3应用实例及拓展8第三章证明二阶微分方程解的存在唯一性定理123.1定理描述123.2证明步骤12第四章总结18致谢21参考文献22外文文献译文2444二阶微分方程解的存在唯一性定理第一章绪论常微分方程是一门在数学、物理、天文和工程技术等领域有着广泛应用的重要学科，是数学理论通向实际应用的桥梁之一，因此成为高等学校数学及许多工程技术专业学生必学重要内容。学好该门课程，对提高科学素养意义重大。而一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理既是微分方程的理论基础，也是常微分

7、方程得以广泛应用的基石。一阶微分方程解的存在唯一性定理中唯一性的证明，采用的是皮卡的逐步逼近法，通过对一阶微分方程定理的证明，逐步延伸到二阶或者多阶，并应用的广泛的领域。19世纪20年代，柯西建立了柯西问题解的存在唯一性定理。1873年，德国数学家李普希兹提出著名的“李普希兹条件”，对柯西的存在唯一性定理作了改进。在是定性的研究中，与柯西、李普希兹同一时期，还有皮亚诺和皮卡，他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近吧。皮亚诺在仅仅要求在点邻域连续的条件下证明柯西问题解的存在性，后来这方面的理论有了很大的发展，其中基本

8、理论包括：解的存在及唯一解，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性，奇解等等。这些问题都是微分方程的一般基础理论问题。本文通过利用李普希兹条件证明一阶微分方程解的存在唯一性定理，从而证明二阶微分方程解的存在唯一性定