四川省成都市石室中学2015年自主招生考试数学试题(含解析)

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1、2015年四川省成都市石室中学自主招生考试数学试卷　一、选择题：本大题共6小题，每题6分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则a的取值范围是（　　）A．a≤0B．a＜0C．0＜a≤1D．a＞02．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP，若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长为（　　）A．3B．4C．6D．93．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（　　）A．1B．12C．13D．254．方程x2

2、+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+2x﹣1=0的实根x0所在的范围是（　　）A．﹣1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜35．如图，△ABC的两条高线AD、BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则△OFG与△GAH面积之比为（　　）A．2：4B．1：3C．2：5D．1：46．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中

3、，点B到原点的最大距离是（　　）A．2+2B．2C．2D．6　二、填空题：本大题公共6小题，每题6分，共36分，把答案填在题中的横线上．7．如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，则图中阴影部分面积为　　cm2．8．在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=　　．9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，若∠A=70°，则∠EDF=　　度．10．从1到10这十个自然数中，任意取出两个数，它们的积大于10的概率是　　．11．已知α，β为方程x2+4x+2=0的二实根

4、，则α3+14β+50=　　．12．如图，P为边长为2的正三角形中任意一点，连接PA、PB、PC．过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF=　　；阴影部分的面积为　　．　三、解答题：本大题共6题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．化简求值：，其中x=+1．14．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a﹣2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于

5、点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE=，AB=，求AE的长．16．如图，在平面直角坐标系中，A（，0），B（，2）．把矩形OABC逆时针旋转30°得到矩形OA1B1C1，（1）求B1点的坐标；（2）求过点（2，0）且平分矩形OA1B1C1面积的直线l方程；（3）设（2）中直线l交y轴于点P，直接写出△PC1O与△PB1A1的面积和的值及△POA1与△PB1C1的面积差的值．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与

6、直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．18．如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1），B（3，1），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求

7、经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（2）若点E在BC的延长线上，求S与t的函数关系式；（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．　2015年四川省成都市石室中学自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共6小题，每题6分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则a的取值范围是（　　）A．a≤0B．a＜0C．0＜a≤1D．a＞0【考点】二次根式的性质与化简．【分析】等式左边为算术平方根，右边的

8、结果应为非负数，且二次根式有意义，故有a＞0，且（1﹣a）≥0．【解答】解：由已知，得a＞0，且（1﹣a）≥0；解可得：0＜a≤1．故选C．【点评】本题考查了二次根式的意义与化简．二次根式化简规律：当a≥0时，=a；当a＜0时，=﹣a．　2．如图，