第九篇 解析几何第6讲 双曲线

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1、第6讲　双曲线1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形．2．考查求双曲线的几何性质及其应用．【复习指导】本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择题．填空题进行考查．基础梳理1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(

2、F1F2

3、＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于

4、F1F2

5、且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M

6、

7、

8、MF1

9、－

10、MF2

11、

12、＝2a}，

13、F1F2

14、＝2c，其中a、c为常数且a>

15、0，c>0；(1)当ac时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图　形性　　质范　围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

16、A1A2

17、＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

18、B1B2

19、

20、＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)一条规律双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．三个防范(1)区分双曲线

21、中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x.双基自测1．(人教A版教材习题改编)双曲线－＝1的焦距为(　　)．A．3B．4C．3D．4解析　由已知有c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，故双曲线的焦距为4.答案　D2．(2011·安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)．A．2B．2C．4D．4解析　双曲线2x2－y2＝

22、8的标准方程为－＝1，所以实轴长2a＝4.答案　C3．(2012·烟台调研)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)．A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x解析　由题意得b＝1，c＝.∴a＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.答案　C4．(2011·山东)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)．A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析　圆心的坐标是(3,0)，圆的半径

23、是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.答案　A5．(2012·银川质检)设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若

24、PF1

25、＝3，则

26、PF2

27、等于________．解析　由渐近线方程y＝x，且b＝3，得a＝2，由双曲线的定义，得

28、PF2

29、－

30、PF1

31、＝4，又

32、PF1

33、＝3，∴

34、PF2

35、＝7.答案　7考向一　双曲线定义的应用【例1】►(2011·四川)双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点

36、P到左准线的距离是________．[审题视点]利用双曲线的第一定义和第二定义解题．解析　由已知，双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P到右焦点的距离为4,4＜a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由双曲线定义，可知点P到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有＝＝，故d＝16.答案　16由双曲线的第一定义可以判断点P的位置关系，在利用第二定义解题时，要注意左焦点与左准线相对应，右焦点与右准线相对应．【训练1】(2012·太原重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上

37、一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析　由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离