函数平方逼近多项式的均方误差计算

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1、函数平方逼近多项式的均方误差计算实验要求：设（1）求连续函数在区间[-1,1]上的3次最佳平方逼近多项式，计算均方误差；（2）在区间[-1,1]上取5个等距结点，求的离散3次最佳平方逼近多项式，计算均方误差；（3）在区间[-1,1]上取9个等距结点，求的离散3次最佳平方逼近多项式，计算均方误差；（4）比较和，应如何合理地定义离散情况下的均方误差？该定义（1）中的有何关系？实验步骤：（1）利用legendre正交多项式作在[-1,1]上的最佳平方逼近，先计算，=0，1，2，3。由方程组计算出系数解得系数为由以上系数和legendre正交函数簇可得在

2、[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式为:均方误差：和多项式在区间[-1,1]上的图形如下所示：（1）在区间[-1,1]上等距的取5个点-1.0000-0.500000.50001.00000.03850.13791.00000.13790.0385由法方程，得到如下方程组：解得系数为由此得到=均方误差==0.5945和多项式在区间[-1,1]上的图形如下所示：（1）在区间[-1,1]上等距的取9个点-1.0000-0.7500-0.5000-0.250000.25000.50000.75001.00000.03850.06640.13790.3

3、9021.00000.39020.13790.06640.0385由法方程，得到如下方程组：解得系数为由此得到均方误差和多项式在区间[-1,1]上的图形如下所示：（1）由（2）、（3）可以看到，这意味着在该均方误差定义下，得到的的信息越多，反而拟合出的曲线误差越大。可以将离散情况下均方差定义为其中是和之间的距离，,采用均匀分布，在区间[a,b]上n个采样点，==，在此定义下，[a，b]=[-1,1]时，=0.4203，=0.3183，有<，并且有：当n趋近于无穷时，=