函数的极限与导数

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1、函數的極限與導數【單元一】函數的極限一、重點整理：（一）函數極限的意義：設函數，當趨近於時，趨近於定數，則稱函數在處之極限值為，記為=。(1)左極限：當而時，以表示，此時的極限稱為左極限，記為=。(2)右極限：當而時，以表示，此時的極限稱為右極限，記為=。若==，則=；若，則不存在。（二）函數極限之性質：設=、=，為常數(1)==(2)==(3)==16(4)==()【註】(1)當存在時，或不一定存在；但其中一個存在，則另一個必存在。(2)存在，則必存在，但其逆不真。(3)若，且存在，則。（三）函數極限的求法：(1)定型極限(分母不為0)：=，

2、即直接代入。(2)不定型：“”：先將分子、分母約去公因式，再代值求極限；若遇根式，則應先有理化再約分。“”：須先化簡。(3)單邊極限之求法：與極限相同。(4)挾擠定理(三明治定理)：若，且存在，則=二、自我學習評量：（一）基礎題：題型一：分母不為0直接代入1.1-1求之值。（Ans：8）1-3求之值。（Ans：-3）1-2求之值。（Ans：-1）16題型二：“”1.2-1求之值。（Ans：12）2.2-3求之值。（Ans：4）2-5求之值。（Ans：）3.2-2求之值。（Ans：5）4.2-4求之值。（Ans：）5.2-6求之值。（Ans：）題

3、型三：“”1.3-1求之值。（Ans：-）3-2求之值。（Ans：-）163-3求之值。（Ans：-1）3-4求之值。（Ans：-）題型四：單邊極限1.4-1求之值。（Ans：-1）4-2求之值。（Ans：-2）題型五：極限變化應用5-1設存在，求、之值。（Ans：=-3；=1）5-2設，求之值。（Ans：10）16題型六：分段函數求極限6-1設，試求之值。（Ans：4）6-2設，試求之值。（Ans：不存在）（二）歷屆聯考試題：1.試求之值。(84四技二專)(Ans：-1)2.試求之值。(85四技二專)(Ans：)3.試求之值。(87保甄)(A

4、ns：)4.試求之值。(85保甄)(Ans：)165.試求之值。(88四技二專)(Ans：-4)6.試求之值。(89四技二專)(Ans：-1)1.7.已知，試求極限之值。(84保甄)(Ans：5)8.設，試求之值。(83四技二專)(Ans：不存在)9.設函數，則下列敘述何者錯誤？(A)(B)(C)(D)(E)為連續函數(82四技二專)(Ans：E)16【單元二】函數之連續：一、重點整理：（一）連續函數的定義函數，為定義域上之點，若=，則函數在處連續；若函數在定義域中之每一點均連續，則稱為連續函數。【註】(1)在處連續，則在必滿足函數值有意義極限

5、值存在=(2)若，則在處不連續(3)若在處連續，則必存在，其逆不真。（二）函數連續之性質設函數與在處連續，則+；-；；，但0；在處亦連續（三）堪根定理設函數在連續，且與異號(即)，則方程式=0至少有一根介於、之間。二、自我練習評量：（一）基礎題：題型一：連續之判別1-1試判別函數在處是否連續？（Ans：不連續）161-2試判別函數在處是否連續？（Ans：不連續）題型二：連續函數變化應用2-1已知在處連續，求值？(Ans：-4)2-2設為一連續函數，求、之值。（Ans：=3、=-2）2-3若，且，在處連續，求、之值。（Ans：=1、=6）162-

6、4設函數，若在實數中連續，求值。（Ans：3）（一）歷屆聯考試題：1.設，則下列何者正確？(A)(B)(C)(D)點不連續(87四技二專)（Ans：D）【單元三】導數的意義一、重點整理：（一）平均變化率函數在區間的平均變化率為，而為函數在處的瞬間變化率。（二）導數的定義函數在處有定義，若(或)存在，則在處可微分，記為(或)；稱為在處之導數。16（三）導函數對於定義域中之每一個，若均存在，則對映至形成一個函數關係，則稱為之導函數，以或或或表示之。註：函數在處，可微分連續。（四）導數之幾何意義函數，若存在，則(1)在處之切線斜率為(2)在處之切線方

7、程式為（五）導數的物理意義(1)設物體運動的距離函數為，則此物體在時間的速度為﹝距離的微分為速度﹞(2)設物體運動的速度函數為，則此物體在時間瞬間加速度為﹝速度的微分為瞬間加速度﹞二、自我練習評量：（一）基礎題：題型一：導數的定義1-1設，試求之值。(Ans：)1-2設，試求之值。(Ans：)161-3設，試求之值。(Ans：2)題型二：導數的物理意義2-1設一物體上拋時，已知秒後的高度為，求此物體在上拋後2秒時的瞬時速度。(Ans：-29.4)2-2某廠牌的汽車，從起動到10秒時的速度函數為，求此汽車在3秒時的瞬間加速度。(Ans：10)（一

8、）歷屆聯考試題：1.設某質點在質線上運動，其在時間的速度為，其中距離單位為公尺，時間單位為秒，試求當時，其加速度為多少公尺/秒？（A）（B）（C）（D