高二数学2-2经典错题本4

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1、18.已知定义在R上的函数f(x)＝x2(ax－3)，其中a为常数.(Ⅰ)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围.·(Ⅰ)a＝2  (Ⅱ) a≥－2.解析:(Ⅰ)f(x)＝ax3－3x，f??(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f??(1)＝0，∴a＝2；(Ⅱ)①当a＝0时，f(x)＝－3x2在区间（－1，0）上是增函数，∴a＝0符合题意；②当a≠0时，f??(x)＝3ax(x－)，由f??(x)＝0，得x＝0，x＝当a＞0时，对任意x∈(－1，0)，f??(x

2、)＞0，∴a＞0符合题意；当a＜0时，当x∈(，0)时，由f??(x)＞0，得≤－1，∴－2≤a＜0符合题意；综上所述，a≥－2.18.设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围.·解析：解法1：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，对函数g(x)求导数：g′(x)=ln(x+1)+1-a，   令g′(x)=0，解得x=ea-1-1.(1)当a≤1时，对所有x＞0,g′(x)＞0,   所以g(x)在［0，+∞)上是增函数.   又g(0)=0，所以对x≥0，有g(x)≥g(0),   即当a≤1时，对于所

3、有x≥0，都有f(x)≥ax.(2)当a＞1时，对于0＜x＜ea-1-1，g′(x)＜0,   所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数.   又g(0)=0，所以对0＜x＜ea-1-1，有g(x)＜g(0)，即f(x)＜ax.   所以当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立.   综上a的取值范围是(-∞,1］.解法2：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，   于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.   对g(x)求导数得g′(x)=ln(x+1)+1-a,   令g′(x)=0，解得x=ea-1-1,   当x＞ea-1-1

4、时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，   当-1＜x＜ea-1-1时，g′(x)＜0，g(x)为减函数.   要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0.   由此得a≤1，即a的取值范围是(-∞,1].20.已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.（Ⅰ）求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；（Ⅱ）是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。·(Ⅰ) f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R) (Ⅱ) 见解析解析:（I）∵f(x)

5、是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，∴f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a，由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R).（II）方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0，设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h??(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)，当x∈(0，)时，h??(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(，＋∞)时，h??(x)＞0，h(x)是增函数，∵h(3)＝1＞0，h()＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在区间(3，

6、)、(，4)内分别有惟一实数根，而在(0，3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在惟一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根.21.已知函数f(x)＝logax＋2x和g(x)＝2loga(2x＋t－2)＋2x(a＞0，a≠1，t∈R)的图象在x＝2处的切线互相平行.(Ⅰ)求t的值；(Ⅱ)设F(x)＝g(x)－f(x)，当x∈[1，4]时，F(x)≥2恒成立，求a的取值范围.·(Ⅰ)t＝6.  (Ⅱ)1＜a≤4解析:(Ⅰ)f??(x)＝logae＋2，g??(x)＝logae＋2，∵函数f(x)和g(x)的图象在x＝2处的切线

7、互相平行，f??(2)＝g??(2)，∴logae＝logae，t＝6.(Ⅱ)∵t＝6，∴F(x)＝g(x)－f(x)＝2loga(2x＋4)－logax＝loga，x∈[1，4]，令h(x)＝＝4x＋，x∈[1，4]，∴h??(x)＝4－＝，x∈[1，4]，∴当1≤x＜2时，h??(x)＜0，当2＜x≤4时，h??(x)＞0，∴h(x)在[1，2)是单调减函数，在(2，4]是单调增函数，∴h??(x)min＝h(2)＝32，h??(x)max＝h(1)＝h(4)＝36，∴当0＜a＜1时，有F(x)min＝loga36，当a＞