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1、空间向量与立体几何一.选择题1.在下列命题中:①若向量共线,则向量所在的直线平行;②若向量所在的直线为异面直线,则向量一定不共面;③若三个向量两两共面,则向量共面;④已知是空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得;其中正确的命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)32.与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是()(A)()和();(B)();(C)()和();(D)();3.已知A、B、C三点不共线,点O为平面ABC外的一点,则下列条件中,能得到M∈平面ABC的充分条件是()(A);(B);(C);(D)
2、4.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,则等于()(A)(9,0,16)(B)25(C)5(D)135.设平面内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(-1,1,2),则下列向量中是平面的法向量的是()A(-1,-2,5)B(-1,1,-1)C(1,1,1)D(1,-1,-1)6.如图所示,在正三棱柱ABC——A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为()(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°7.到定点的距离小于或等于1的点集合为()A.B.C.D.8.已知均为单位向量,它们的夹角为60
3、°,那么等于()A.B.C.D.49.在平面直角坐标系中,,沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角后,则线段AB的长度为()A.B.C.D.10.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二.填空题11.若空间三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)共线,则p=______,q=______。12.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如图).现将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B为45
4、°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________.13.如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的余弦值等于________;14.已知,,,若共同作用于一物体上,使物体从点M(1,-2,1)移动到N(3,1,2),则合力所作的功是.15.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于.题号12345678910题号题号1112131415题号三.解答题16.设向量并确定的关系,使轴垂直17.如图,正方体ABCD
5、-A1B1C1D1棱长为1,P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1P:PA=DQ:QB=5:12,(1)求线段PQ的长度;(2)求证PQ⊥AD;(3)求证:PQ//平面CDD1C1;18.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 ,E,F分别是AD,PC的中点(Ⅰ)证明:PC ⊥平面BEF;(Ⅱ)求平面BEF与平面BAP夹角的大小。19.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点(1)证明:PEBC(2)若A
6、PB=ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值20.如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得.(1)求a的最大值;(2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;(3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量及点P到平面SCD的距离.21.如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①;②;③;④;⑤;(1)当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由
7、;(2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值;(3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n=1,2,3,…),若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小;答案1-5AABBB6-10BACBB11.3,212.13.14.1415.30°16.解:(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28)(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21由即当满足=0即使与z轴垂直.17.解:以D为坐标原点。DA、DC、DD1分别为x,y,z轴建
8、立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1,所以D(0,0,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),A(1,0,0),∵P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1P:PA=DQ:QB=5:12,∴P,Q(),∴