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数学建模竞赛参赛的队员选拔与组队问题摘要队员的选拔及组队问题是历来数学建模的一大难题。本次建模中要解决的就是参赛队员的选拔与组队的问题，在本次建立的模型中主要用到的是层次分析法，以及求权重的方法从而确定主成分因素。并且用Excel分析数据，Matlab编程，得到所需数据。问题一中，对学生要求具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。在问题二上，对于队员选拔的问题，就模型一而言，按照队员的7个条件的相应的权重在Excel中用记权型法得到20名队员的综合排名，自然淘汰最后2名即H,B这两位队员。在模型二中，它采用的是层次分析法，将18个要选出参赛的队员作为目标层O，7个条件作为准则层C，20个队员作为方案层P.再由成对比矩阵用Matlab计算确定各条件C1，C2,…，C7对上层因素的权重，最后求出组合权向量.根据权重的大小剔除H，I两名.问题三要确定一组最佳组队，要使这组的竞技水平最大，我们设计了竞技水平函数，问题就转化为求f的最大值.最后，找出权重较大排在前三位的作为最佳组（L，G，S）.问题四在问题三的基础上，将剩下的15名队员组成5队.找出15人中指标最高的前三位作为一组.继续按照这种逐次优选的思想最后得的组合如下表：分组队员一队员二队员三第一组LGS第二组MFT第三组PAQ第四组ODR第五组KBJ第六组ECN关键词：层次分析法权重记权型法Excel分析数据MATLAB计算数据 一、问题重述一年一度的大学生数学建模竞赛，任何参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和科学合理组队问题。这是一个最实的而且首先需要解决的数学模型问题。今假设有20名队员准备参加竞赛，根据队员的能力和水平要选出18名优秀队员分别组成6个队，每个队3名队员去参加比赛。选拔队员主要考虑的条件依次为有关学科成绩（平均成绩）、智力水平（反映思维能力、分析问题和解决问题能力等）、动手能力（计算机的使用和其它方面实际操作能力）、写作能力、外语能力、协作能力（团结协作能力）和其他特长。每个队员的基本条件量化后如附录中的表（一）所示，现假设所有队员接受了相同的培训，外部环境相同，竞赛中不考虑其它的随机因素，竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件，并且参赛队员都能正常的发挥自己的水平。现要解决的问题有四个：第一，根据所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员需要考虑学生哪些方面的情况，哪些素质是数学建模的关键素质，并且是如何进行考察的；第二，在表（二）中的20名队员中选择18名优秀的队员去参加竞赛；第三，确定一个最佳的组队使得竞赛技术水平最高；第四，给出由18名队员组成6个队的组队方案，使整体竞赛技术水平最高，并且给出每个队的竞技水平。二、模型假设1、假设问题给出的数据均为可供分析的可靠数据，不存在错误数据。2、假设每个队员在参赛以前接受相同的培训，相同的外部环境，在参赛过程中不考虑随机因素。3、假设题中的7个条件指标的影响程度是逐渐降低的。4、假设各个队在参赛中之间相互独立，不互相影响。5、假设每个队员都能正常发挥如表中的水平。三、符号说明符号说明A,B……S,T20名队员的代码=j(i=1,2,…,7.j=7,6,…,1)依次表示7个条件指标的权重(i=1,2,…,7)表示各个指标的权重系数（i=1,2,…,7），I表示各个指标数，I是综合水平数CI一致性指标RI随机一致性指标CR一致性比率正互反矩阵的特征值 准则层对目标层的特征向量方案层对准则层的特征向量（i=1,2…7）依次为7个条件指标的代号竞技水平函数个人对准则层的权重四、模型分析、建立及求解通过上述分析假设基础上，解决问题二我们建立了两个模型。模型一：依据题意及假设得知，不妨假设7个条件指标的权重依次为7,6,5,4,3,2,1.用计权型法，公式如下：用Excel处理相关数据，得出下表：队员编号学科成绩智力水平动手能力写作能力外语水平协作能力其它特长综合水平排序L9.69.18.19.98.79.769.051M9.59.68.38.199.378.952G9.29.697.29.19.298.9464293D8.68.98.39.69.79.788.9285714R8.78.39.29.18.79.288.7714295P9.38.48.68.88.69.568.7321436O9.18.78.88.48.89.458.7035717F9.29.28.27.99968.6857148T98.89.57.97.7968.6428579Q8.489.49.28.49.178.60714310C88.68.58.59.29.688.53214311E8.88.48.57.78.69.298.51785712S7.78.19.67.699.698.43214313 A8.698.287.99.568.42514K98.287.899.558.37142915N8.68.38.28.19958.33571416J8.38.18.66.98.59.448.05714317I7.78.28.46.59.69.357.98214318H789.86.28.79.767.93928619B8.28.88.16.57.79.127.85714320由上表不难看出，在20名队员中综合水平最弱的是H,B这两位队员，因此这两们队员就被淘汰了。模型二：用层次分析法，将18个要选出参赛的队员作为目标层，7个条件作为准则层，20个队员作为方案层。如下图：选拔优秀队员学科成绩写作能力动手能力智力水平其他能力协作能力外语水平ADTCB………………目标层O准则层C：方案层P：根据题意及假设可知，7个条件指标是依次递减的，不妨假设它们相差1，所以得到如下的正互反矩阵：用Matlab编程计算特征向量: 特征值.一致性指标随机一致性指标.一致性检验.通过一致性检验.下面在考虑方案层对准则层的特征向量，设其矩阵为特征矩阵该矩阵归一化处理，必定为一致阵.所以=20.所以其CI,RI,CR,都为0.用Matlab编程得到下表：P-C层特征向量P-C0.04980.05220.04730.050.04520.05080.04720.04750.05110.04670.04070.0440.04870.01570.04630.04990.0490.05320.05260.05130.0630.04980.05170.04790.060.05550.05190.0630.0510.04880.0490.04820.04920.04920.07090.05330.05340.04730.04940.05150.04810.04720.05330.05570.05190.0450.0520.04920.07090.04060.04640.05650.03880.04970.05190.04720.04460.04760.04850.04070.05490.04970.03940.04810.0470.04960.04320.04860.05030.03150.05210.04760.04620.04880.05150.05080.03940.05560.05280.04670.06190.04970.05190.0472 0.0550.05570.04790.05070.05150.04970.05510.04980.04820.04730.05070.05150.04810.03940.05270.05050.05080.05250.05030.05030.03940.05390.04880.04960.0550.04920.05080.04720.04870.04640.05420.05750.0480.04870.05510.05040.04820.05310.05690.04970.04920.0630.04520.0470.05540.04750.05150.05130.07090.05210.05110.05480.04940.0440.04810.0472将准则层对目标层的特征向量与方案层对准则层用公式：求出每个队员的权重.其中CI（2）=RI（2）=CR(2)=0.所以总的一致性指标CI=CI(1)CI(2)=0,随机一致性RI=RI(1)+RI(2)=1.3200.总的一致性比率CR＝CR（1）＋CR（２）＝0.0249＜0.1．通过一致性检验.进行层次总排名，得出下表：20名队员权重排序结果：权重0.05330.05310.05310.05190.05140.05140.05130.05120.05110.0503队员LMGDPFROTE权重0.05010.04970.04950.04920.0490.04880.04720.04630.04630.0457队员QACKSNJBIH所以得知H，I的能力最弱，自然剔除H，I两位了.问题三的解决，建立如下的模型：要确定一个最佳队员组合，使竞技水平最高.显然要考虑到队员之间的互补性，使该队组在指标上的权重最大.设立这样一个函数：表示个人对准则层的权重作为个人的水平.由P-C特征向量表得出7个指标对队员的权重的排名如下表：指标最大的权重0.05560.05570.05540.06190.05550.05190.0709LG，MSLDD,LE,G,S 队员编号所以由表及考虑到队员的能力强弱，最佳的组合是L，G，S.问题四的解答：题中要求给18名队员分成6个队，采用模型二，在问题三的基础上，已分好了一组，所以只需将剩下的十五队员分成五组即可.模型：在问题三的模型中，确定了一组最佳的组合，再次用这种方法确定第二组，因此用逐次优选的思想将剩下的队员组队.具体情况如下表指标第二的权重0.0550.05340.05480.60.05490.05130.063队员编号MFTDIC,SC,D,R所以第二组的组合是:M,F,T.指标第三的权重0.05390.05220.05420.05750.05260.05080.0551队员编号PAQQCK,P,AQ所以第三组合为：P，A，Q.指标第四的权重0.05270.05170.05310.05690.05150.05030.0394队员编号ODRRNO，JK,O,N所以第四组合为：O,D,R指标第五的权重0.05210.05110.04960.5320.04920.04920.0315队员编号KBJCEEJ所以第五组合为：K，B，J自然地就只剩下最后一个组了，因此第六组合为：E，C，N依次优选的分组如下表：分组队员一队员二队员三第一组LGS第二组MFT第三组PAQ第四组ODR第五组KBJ第六组ECN 五、模型优缺点优点：本文问题二中的模型一中采用的是计权型法求权重和用Excel处理数据，此模型比较直观，并且计算也非常简单。对于模型二，用的是层次分析法，在计算过程中还用到了权重，这样增加了组队的公平性，还建立竞技函数，这样明显的表示除了队员的优劣情况，而且结果也比较合理可信。缺点：对问题四，没有找到更好的解决方法和解决思想，在解答上计算不够精确，可能存在一定的误差.六、参考文献【1】姜启源，《数学模型》[M]（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8.【2】吴诩吴孟达，《数学建模的理论与实践》[M]，长沙:国防科技大学出版社，1999.8【3】叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》[M]，北京：湖南教育出版社，1993.【4】王文波，《数学建模及其基础知识详解》[M],武汉：武汉大学出版社，2006.5附录程序一：(层次分析法程序)a=[1234567;1/2123456;1/31/212345;1/41/31/21234;1/51/41/31/2123;1/61/51/41/31/212;1/71/61/51/41/31/21];[v,lambda]=eig(a);CI=(max(max(lambda))-7)/(7-1);RI=1.32;if(CI/RI<0.1)fori=1:7W(i)=v(i,)/sum(v(:,1));endelsedisp('请调整成对比较矩阵')endW程序二：clearallcloseallclcA=load('D:data.txt');fori=1:20forj=1:7 B(i,j)=A(i,j)/sum(A(:,j));endendB
